Поиск корней многочлена с отрицательным дискриминантом.

ЛЕКЦИЯ 13. 25.3.2021.

Поле комплексных чисел.

       Поле действительных чисел не содержит корни некоторых многочленов, например . В общем случае, если  уравнение  имеет отрицательный дискриминант, т.е. , то на действительной оси корней нет. Существует система обобщённых чисел, где и такие уравнения тоже имеют решения. Комплексные числа геометрически соответствуют точкам на плоскости, где действительная ось - это горизонтальная ось Ох в данной плоскости. «Мнимая единица»    «квадратный корень из минус 1». При этом .

 

Горизонтальная ось отождествляется со множеством действительных чисел, а мнимая ось, содержащая , перпендикулярна оси действительных чисел.                     

Числовые множества: .

Каждой точке на плоскости с координатами  можно поставить в соответствие комплексное число, состоящее из действительной и мнимой части: . Проекция на действительную и мнимую ось называются действительной частью и мнимой частью комплексного числа. , .

Если , то число  это действительное число.

Сложение и вычитание комплексных чисел определяется покоординатно, как для обычных векторов в плоскости.

 = .

Для вычитания аналогично:  = .

Умножение.

 = , учитывая тот факт, что ,

получаем  = .

Таким образом, после раскрытия скобок, надо просто учесть  и привести подобные.

Пример.  =  = .

 

Определение. число  называется сопряжённым к .

Умножим два взаимно сопряжённых комплексных числа:

 =  =  = , получилось действительное число. Мы заметили, что при умножении на сопряжённое мнимая часть станет 0. Этот факт можно использовать для процедуры деления. Если домножить на сопряжённое в знаменателе, то там получится действительное число, и это даст возможность разбить на сумму двух дробей. При этом, конечно, в числителе тоже домножаем на сопряжённое к знаменателю, чтобы дробь не изменилась.

 

= = =

Обозначения   

Теорема. 1)   является полем.

2)   является подполем поля .

Доказательство.    1) 

 - абелева группа. Коммутативность и ассоциативность по сложению очевидна, нейтральный элемент , противоположный .

 

Коммутативность по умножению:

 

Ассоциативность по умножению:

 =

.

 =

.

 

Нейтральный элемент по умножению :

 = . 

Для любого числа, кроме 0, существует обратное:  

 =  =  = . 

 

Дистрибутивность.  

 =  =

 =

 . 

 =

 =

.

 2) Поле действительных чисел является подполем (см. критерий подполя: разность  и , если ).

 

Лемма. Поле комплексных чисел изоморфно полю матриц вида .

Доказательство. Рассмотрим отображение  и докажем, что это изоморфизм. , .

Докажем, что сумма комплексных чисел соответствует сумме матриц, а произведение - произведению матриц.

 = .

 = .

Замечание. Обратный элемент тоже можно искать с помощью матриц, обратной матрицы.   

Определитель , .

 

Доказательство.

Сложим  и .

 = , тогда .

Вычтем  и .

 = , тогда .

- - - Перерыв - - -

Тригонометрическая форма комплексного числа.   Введём величину  тогда  можно представить в таком виде: ,  (вспомнить: полярные координаты) для некоторого , ведь геометрически в этом случае  - катеты прямоугольного треугольника, - его гипотенуза. Заметим, что . 

Абсцисса и ордината точки  на плоскости это проекции на оси, они равны  и  соответственно. Эти величины  и  и есть полярные координаты точки на плоскости. Если записать комплексное число  с помощью введённых выше величин  и , получим: =  = .

Выражение  называется тригонометрической формой комплексного числа,  - его аргументом,  - модулем.

.

Понятие модуля согласуется с известным понятием, применявшимся раньше для отрицательных чисел: модуль - расстояние по кратчайшей линии до начала координат. 

Для любой точки  модуль вычисляется как  . Для вычисления аргумента верна формула   если точка в 4-й и 1-й четверти, либо , если во 2-й и 3-й четверти.

Так, число  запишется в виде = .

Число  = .

Если вычислить синус и косинус, то снова перейдём к обычной, «алгебраической» форме числа:

 =  = .

 

 

Действительное число имеет аргумент 0 (если оно положительно) или  (если оно отрицательно).

 

Угол может определяться разными способами, так, например, вместо угла  во всех вычислениях для комплексных чисел в тригонометрической форме можно использовать , и это не будет ошибкой, так как тригонометрические функции повторяются через промежуток .

 

Доказательство.

 = =

=

используем известные тригонометрические формулы косинуса суммы и синуса суммы, и получим . 

Примеры.

Умножить . Во-первых, это можно сделать и без триг.формы:

 =  = . 

В тригонометрической форме: (используем представление чисел, которое сделали ранее).

 = .    = .

 =  =

 =  =

 = .

 = .

Формула деления двух комплексных чисел в тригонометрической форме: = .

Для её доказательства достаточно домножить на :

 = =  =

. 

 

Доказательство.

Способ 1.     

Производная по : 

 =  = . 

Способ 2. Разложение экспоненты по формуле Тейлора: 

 Тогда  

Но , , ,...

Тогда  теперь соберём в отдельные слагаемые все части, где нет , и где есть .

в 1 и 2 скобках - разложения  и . Итак, , что и требовалось доказать.

 

ЛЕКЦИЯ 14.  27.3.2021.

 

Степени комплексных чисел в тригонометрической форме можно использовать для выведения различных формул тригонометрии, например, двойных и кратных углов. 

Для степени 2:

, так как угол удваивается.

С другой стороны, можем просто раскрыть скобки при возведении в квадрат:  =

. Сравнивая отдельно действительные и мнимые части, получим хорошо известные формулы:

 = ,  = .  

Для степени 3:

, по формуле Муавра.

с другой стороны, раскроем простым умножением, как в биноме Ньютона: 

 =

. 

Совпадают комплексные величины, значит, совпадают их действительные и мнимые части. Приравняем их:

 =    

 =

Впрочем, далее можно в тех местах, где квадрат синуса или косинуса, представить через основное триг. тождество, чтобы выразить через одну и ту же функцию:

 =   = , 

 =  = . 

 

 

Корни степени n. Корни степени n вычисляются по формуле:

.  

Доказательство. Если возведём в степень n, получим  = .

Получается, что добавка  после возведения в степень станет кратной , то есть точка, отстоящая на угол , просто опишет один лишний оборот вокруг начала координат, то есть к аргументу добавится 360⁰, и придёт в ту же точку, что и было бы без .

При   получается n разных точек.

Докажем, что таким образом найдены все корни, и не существует какого-либо другого -го корня при каком-либо другом .  

Возьмём . Тогда число  можно поделить на  (возможно, с остатком), а именно, , где . Рассмотрим выражение

 =

 =

 =

 =

, где ,

то есть нет нового корня, он совпадает с каким-то из ранее найденных.

 

Замечание. , два значения, частный случай.

 = .

Две точки на окружности – через 180 град.  Eсли число было положительным, то его аргумент был 0, и тогда по формуле  то есть

 =  = , что и соответствует  при  и . К аргументу прибавляется по 360 / 2 = 180 градусов. 

Пример. Найдите все значения корня .

Сначала представим комплексное число, которое находится под знаком корня, в тригонометрической форме.

Точка расположена на мнимой оси выше начала координат, поэтому аргумент , модуль .

 - представление в триг. форме.

Теперь находим все 3 корня.

при k = 0,1,2. , отсюда:

 

1)  k=0:  =  =

2) k=1:  = =

3) k=2:  = =

 

Чертёж:

Если к исходному углу добавить 120 градусов, то для куба этого числа добавится 360 градусов, и результат будет точно такой же. С этим фактом как раз и связано наличие лишнего слагаемого  в формуле.

 

Квадратные корни из -1:

,

 = ,

Углы 90 и 270 град.

1) k=0  =

2) k=1  =

- - - Перерыв - - -

Корни из единицы.

 

Так как , то корни из 1 имеют вид: 

Само число 1, очевидно является корнем любой степени n из 1, и это значение получается при . Обозначим этот корень , 

, ,...

 

Множество корней из 1 обозначим: .

Теорема 1. 1)  абелева группа.

2) , группа корней степени n из единицы изоморфна аддтитивной группе вычетов по модулю n. 

 

Доказательство.

1) Так как  - кольцо, то  - абелева группа, причём . Тогда достаточно доказать, что  подгруппа в  с помощью критерия подгруппы.

Пусть  - два различных корня. Покажем, что , то есть является каким-то корнем из 1.

 = , поделим в тригонометрической форме,

получим  = , а как доказано ранее, любое число такого вида совпадает с каким-либо из n корней из единицы (поделить с остатком, получить на месте  число из множества ).

2) Изоморфизм  можем задать так: . 

 = , где ,  остаток от деления на , если , и  если . При этом верно и  в группе вычетов (если , то класс вычетов определяется остатком от деления на ).

 

Определение. Группа  называется циклической, если существует элемент , такой, что любой элемент из  является его степенью. В этом случае говорят, что группа порождается элементом , обозначение .

Лемма.  - циклическая группа.

Доказательство. Для всякого ,  =

.  

 

Определение. Корень -й степени из 1 называется первообразным, если он не является корнем из 1 с меньшим, чем , натуральным показателем, то есть , но ни при каком : .

 

Пример.  корни 4 степени из 1.  Но  и 1 ещё и в квадрате, а не только в 4 степени, равны 1, то есть для . А вот корни  первообразные.

Лемма. Корень  первообразный для любого n.

Док-во:  при , , и это число в степени  не может быть = 1. 

Теорема 2. Число    есть первообразный корень -й степени из 1  (взаимно просты). 

ЛЕКЦИЯ 15. 1.4.2021

Лемма.  Сумма всех корней степени  из 1 равна 0.

Доказательство.    Пусть .    

Но , ,...,  (при умножении на  каждая точка поворачивается на угол  и переходит в следующую). 

Тогда , так как это сумма тех же  комплексных чисел. Но при этом . Значит, .

Доказательство.

Рассмотрим для действительного числа  и покажем, что данные функции, а именно  и , приведут именно к обычному синусу и косинусу действительного числа, т.е. они обобщают синус и косинус. Используя формулу Эйлера,

1)  =  =  =

2)  =  =  =

 

Неограниченность синуса и косинуса в комплексной плоскости.

Пример. .

Вычислим:  =  = .

 

Логарифм комплексного числа.

Обобщённый логарифм вводится с помощью формулы:  

()

Доказательство.

Проверим, совпадает ли  и  при любом целом .

 =  =  =  =

 =

синус и косинус не зависят от прибавления угла, кратного , поэтому получаем .

А это уже и есть тригонометрическая форма комплексного числа.  

Итак,  =  .

Если вычислять логарифм положительного действительного числа, то , т.е. одна точка из бесконечного множества попадает на действительную ось, потому что исходный угол . Для любого числа, которое не является действительным положительным, , поэтому происходит сдвиг этой последовательности на часть деления, и ни одна точка не попадёт на действительную ось.

Пример. Вычислить .

Здесь , . Поэтому  = .

Точки в комплексной плоскости: , , , и так далее.

Ни одного значения на действительной оси нет, и здесь, по сравнению со значениями логарифма положительного числа, сдвиг на половину деления: одна точка ушла вверх с действительной оси, а другая ещё не достигла этой оси. Чертёж:

 

Здесь легко сделать и проверку:  =  =  = , то есть действительно, .

  Пример. Вычислить .

 = . Последовательность значений такова:  каждая соседняя пара отличается на  по высоте. Здесь сдвиг вверх всего на четверть деления, а не на половину, как для .

1) При фиксированном модуле исходного числа и увеличении его аргумента, эта последовательность точек плывёт вверх, при полном повороте на  как раз следующая точка попадёт на место предыдущей.

2) При фиксированном аргументе исходного числа и увеличении его модуля, эта последовательность точек плывёт вправо, если исходная точка внутри единичной окружности то множество значений логарифма в левой полуплоскости, так как , а если вне единичной окружности, то в правой полуплоскости.

Динамическая анимация, показывающая поведение значений  в зависимости от колебаний модуля или аргумента , показана в следующем обучающем видеоролике: 

http://www.youtube.com/watch?v=LKFFn-TSLd0 

 

Замечание. Единственная точка в комплексной плоскости, для которой не существует логарифма, это 0. Ведь в этом случае , и не существует .

 

Пример. Вычислить .

Решение. Представим , расположенную в основании, в виде . Тогда , причём чуть выше мы вычисляли

. Тогда  =  =  т.е. получается бесконечное множество точек на действительной оси.

 

       Для всякой функции  можно отдельно выделить действительную и мнимую части, и представить в виде

. Таким образом, возникают понятия: действительная и мнимая часть функции, обозначения: , . Итак, комплексной функции можно поставить в соответствие некоторое отображение из  в , а именно . Но график такого отображения был бы в 4-мерном пространстве, поэтому изобразить его в нашем 3-мерном пространстве невозможно. Но мы можем пользоваться неким подобием графика, а именно, рассматривать чертёж искажений плоскости, изучать, в какие линии отображаются горизонтальные либо вертикальные линии из исходной плоскости.

Пример.  Разложить  на сумму действительной и мнимой частей, изобразить искажения плоскости при переходе .

1)  =  =  = .

Таким образом, , .

Чтобы исследовать, куда переходят горизонтальные прямые, зафиксируем , при этом  изменяется от  до , пусть движение задано с помощью параметра :

.

Чтобы составить уравнение, взаимосвязывающее , и узнать, какая это кривая, исключим параметр , выразив из второго уравнения: , тогда . Это парабола, лежащая на боку, ветвями направленная вправо, причём чем больше , тем левее вершина, и тем более пологая парабола получается, ведь  при этом меньше. А если , то возникает предельный случай: обе ветви смыкаются в одну линию и образуют правую полуось. Действительная ось отображается на правую полуось в плоскости .

Аналогично, для какой-либо вертикальной прямой:

. Тогда, исключая параметр , получим . Это параболы, направленные ветвями влево, симметричные тем, что были рассмотрены чуть выше.

На чертеже зелёным цветом показаны горизонтальные прямые и их образы при отображении , а красным - вертикальные прямые и их образы:

Примечание. 4-мерный график можно было бы рассматривать таким образом: нужно как минимум 4 проекции на координатные пространства, а именно 0xyz, 0xzw, 0xyw, 0yzw.

Либо можно рассмотреть 2 поверхности, построенные по функциям  и .

Линейные пространства над С

       Над полем комплексных чисел тоже, как и над R, можно рассматривать линейные пространства различной размерности. Рассмотрим, чем отличается строение скалярного произведения в этом случае, и каким будет аналог евклидового пространства.

 

Напомним, что в линейном пространстве  над полем  задано евклидово скалярное произведение, если задана функция , т.е. каждой паре векторов можно однозначно поставить в соответствие число , причём:

1)

2) ,

3)