Доказательство. Необходимость.

Пусть  первообразный корень степени  из единицы. Допустим, что . Тогда  и , тогда: , то есть , где , противоречие.

Достаточность. Пусть , но пусть при этом  не является первообразным корнем, то есть существует , для которого . Тогда .

Докажем, что , и тогда  не будут взаимно просты.

Пусть . Тогда .

Получили , но остаток , а корень  первообразный. Противоречие с тем, что  (делится с остатком).

Значит, . Но так как , то , но оно было меньше, чем . Противоречие.

 

Теорема 3. Корень степени  из 1 является первообразным  он является образующим циклической группы .

Доказательство.  Необходимость. Пусть  - какой-нибудь первообразный корень степени  из 1. Тогда при любом целом , число  тоже будет корнем степени  из 1, так как  . 

Рассмотрим все они являются корнями степени  из 1. И среди них нет равных, так как если , то , где , что невозможно, так как  - первообразный корень степени . Итак,  = . 

Достаточность.  Пусть  = . Докажем, что этот корень  первообразный. Пусть  при .  

Тогда , для всех степеней, больших чем , повторяются уже учтённые корни, то есть , но тогда это не группа , так как в группе  получилось меньше чем  элементов.

Противоречие.

Пример. -1 не первообразный корень степени 4 из 1; возводя в разные степени, никогда не получим i или –i.  

ЛЕКЦИЯ 15. 1.4.2021

Лемма.  Сумма всех корней степени  из 1 равна 0.

Доказательство.    Пусть .    

Но , ,...,  (при умножении на  каждая точка поворачивается на угол  и переходит в следующую). 

Тогда , так как это сумма тех же  комплексных чисел. Но при этом . Значит, .

Области в комплексной плоскости и неравенства, задающие их.

 правая полуплоскость.

 верхняя полуплоскость.

 - окружность радиуса R вокруг начала координат. 

 - круг радиуса R вокруг начала координат. 

 это круг радиуса 1 вокруг точки . Это неравенство задаёт следующее условие: удаление числа  от фиксированного числа  не превышает 1. Можно непосредственно преобразовать в уравнение круга в плоскости:  а это уравнение круга, центр которого в точке (0,1), то есть как раз в точке . Чертёж:

 

Пример.  это круг радиуса 2 с центром в точке , то есть точке (1,1) в плоскости.

Пример. Множество  это кольцо вокруг точки .

Пример.  это круг радиуса  вокруг точки .

 Функции комплексного переменного.

Обобщим на комплексную плоскость синус и косинус.

Верны такие формулы: , .

Доказательство.

Рассмотрим для действительного числа  и покажем, что данные функции, а именно  и , приведут именно к обычному синусу и косинусу действительного числа, т.е. они обобщают синус и косинус. Используя формулу Эйлера,

1)  =  =  =

2)  =  =  =

 

Неограниченность синуса и косинуса в комплексной плоскости.

Пример. .

Вычислим:  =  = .

 

Логарифм комплексного числа.

Обобщённый логарифм вводится с помощью формулы:  

()

Доказательство.

Проверим, совпадает ли  и  при любом целом .

 =  =  =  =

 =

синус и косинус не зависят от прибавления угла, кратного , поэтому получаем .

А это уже и есть тригонометрическая форма комплексного числа.  

Итак,  =  .

Если вычислять логарифм положительного действительного числа, то , т.е. одна точка из бесконечного множества попадает на действительную ось, потому что исходный угол . Для любого числа, которое не является действительным положительным, , поэтому происходит сдвиг этой последовательности на часть деления, и ни одна точка не попадёт на действительную ось.

Пример. Вычислить .

Здесь , . Поэтому  = .

Точки в комплексной плоскости: , , , и так далее.

Ни одного значения на действительной оси нет, и здесь, по сравнению со значениями логарифма положительного числа, сдвиг на половину деления: одна точка ушла вверх с действительной оси, а другая ещё не достигла этой оси. Чертёж:

 

Здесь легко сделать и проверку:  =  =  = , то есть действительно, .

  Пример. Вычислить .

 = . Последовательность значений такова:  каждая соседняя пара отличается на  по высоте. Здесь сдвиг вверх всего на четверть деления, а не на половину, как для .

1) При фиксированном модуле исходного числа и увеличении его аргумента, эта последовательность точек плывёт вверх, при полном повороте на  как раз следующая точка попадёт на место предыдущей.

2) При фиксированном аргументе исходного числа и увеличении его модуля, эта последовательность точек плывёт вправо, если исходная точка внутри единичной окружности то множество значений логарифма в левой полуплоскости, так как , а если вне единичной окружности, то в правой полуплоскости.

Динамическая анимация, показывающая поведение значений  в зависимости от колебаний модуля или аргумента , показана в следующем обучающем видеоролике: 

http://www.youtube.com/watch?v=LKFFn-TSLd0 

 

Замечание. Единственная точка в комплексной плоскости, для которой не существует логарифма, это 0. Ведь в этом случае , и не существует .

 

Пример. Вычислить .

Решение. Представим , расположенную в основании, в виде . Тогда , причём чуть выше мы вычисляли

. Тогда  =  =  т.е. получается бесконечное множество точек на действительной оси.

 

       Для всякой функции  можно отдельно выделить действительную и мнимую части, и представить в виде

. Таким образом, возникают понятия: действительная и мнимая часть функции, обозначения: , . Итак, комплексной функции можно поставить в соответствие некоторое отображение из  в , а именно . Но график такого отображения был бы в 4-мерном пространстве, поэтому изобразить его в нашем 3-мерном пространстве невозможно. Но мы можем пользоваться неким подобием графика, а именно, рассматривать чертёж искажений плоскости, изучать, в какие линии отображаются горизонтальные либо вертикальные линии из исходной плоскости.

Пример.  Разложить  на сумму действительной и мнимой частей, изобразить искажения плоскости при переходе .

1)  =  =  = .

Таким образом, , .

Чтобы исследовать, куда переходят горизонтальные прямые, зафиксируем , при этом  изменяется от  до , пусть движение задано с помощью параметра :

.

Чтобы составить уравнение, взаимосвязывающее , и узнать, какая это кривая, исключим параметр , выразив из второго уравнения: , тогда . Это парабола, лежащая на боку, ветвями направленная вправо, причём чем больше , тем левее вершина, и тем более пологая парабола получается, ведь  при этом меньше. А если , то возникает предельный случай: обе ветви смыкаются в одну линию и образуют правую полуось. Действительная ось отображается на правую полуось в плоскости .

Аналогично, для какой-либо вертикальной прямой:

. Тогда, исключая параметр , получим . Это параболы, направленные ветвями влево, симметричные тем, что были рассмотрены чуть выше.

На чертеже зелёным цветом показаны горизонтальные прямые и их образы при отображении , а красным - вертикальные прямые и их образы:

Примечание. 4-мерный график можно было бы рассматривать таким образом: нужно как минимум 4 проекции на координатные пространства, а именно 0xyz, 0xzw, 0xyw, 0yzw.

Либо можно рассмотреть 2 поверхности, построенные по функциям  и .

Линейные пространства над С

       Над полем комплексных чисел тоже, как и над R, можно рассматривать линейные пространства различной размерности. Рассмотрим, чем отличается строение скалярного произведения в этом случае, и каким будет аналог евклидового пространства.

 

Напомним, что в линейном пространстве  над полем  задано евклидово скалярное произведение, если задана функция , т.е. каждой паре векторов можно однозначно поставить в соответствие число , причём:

1)

2) ,

3) ,             

4) , причём .

Нормой (модулем) вектора  называется число .

Эрмитово скалярное произведение :  

1) , и в частности, , поэтому норма также определяется как действительная величина. 

2) ,

Отличие в том, как выносится константа со 2 места:

3) , ,  

4) , причём .

(полуторалинейная форма). Унитарное пространство.

Гауссовы числа.

       Можно рассматривать множество комплексных чисел только с целыми координатами, G = , они образуют кольцо, что нетрудно доказать, так как коммутативность, ассоциативность и дистрибутивность следует из комм., асс., дистрибутивности в поле С, отличие в том, что не каждый элемент обратим. Обратимы, к примеру, некоторые числа: , , , . 

Если модуль числа больше , то модуль обратного меньше 1, и тогда оно не является гауссовым числом. Поэтому множество всех мультипликативно обратимых элементов ограничивается числами , они называются делителями единицы и образуют группу. 

Два комплексных числа называются ассоциированными, если они отличаются на множитель, являющийся делителем единицы.

 - множество попарно ассоциированных элементов. 

Нормой гауссова числа называется квадрат его модуля:

.  

Деление с остатком.

Для любых   существуют , такие, что , и .

 

Пример. Поделить  на  с остатком в кольце гауссовых чисел.

Сначала разделим обычным образом, получив дробные значения действительной и мнимой части.  =  =  =  = . Берём целую часть по каждой координате, . 

, исходное число было . Таким образом,

 = , остаток равен 1.

Впрочем, гауссовы числа - линейно не упорядоченное множество, поэтому деление не однозначно: можем округлить до целого:

, тогда . 

Верно также и  = , остаток . 

* Если при делении получается , где  целые, то говорят, что   делится на  без остатка.

* В связи с этим,  вводится понятие НОД аналогично тому, как было в кольце Z. Однако, из-за ассоциированности, НОД определяется не единственным образом.

 

 

Обратим внимание на то, что некоторые простые действительные числа не являются простыми гауссовыми: например,

 = ,

- существует даже 2 разных разложения. Аналогично:  

, .

, .

, . .  

Обратим внимание на то, что во всех этих примерах числа вида , то есть имеющие остаток 1 при делении на 4.  Сейчас мы докажем, что это не случайно, и только такие простые числа имеют разложение в виде произведения двух сопряжённых гауссовых.

 

Лемма 1. Если  простое и является произведением двух гауссовых чисел, то оно должно иметь вид . 

Доказательство.

1) Доказывали ранее (см. практику), что если действительное число есть произведение двух комплексных, то одно комплексное обязательно сопряжённое к другому, с точностью до действительного множителя, то есть . 

2) Если , то , тогда оно не было бы простым, так как распадалось бы действительные на множители.

Таким образом, единственный вариант, это  при . 

 

Лемма 2. Числа  вида  не могут быть разложены в произведение двух сопряжённых. 

Доказательство. Допустим, что .

Докажем, что числа вида  не могут быть представлены в виде суммы квадратов. 

Если число  или  чётное, то его квадрат имеет вид , то есть имеет остаток 0 при делении на 4

Если число  или  нечётное, то его квадрат имеет вид , то есть имеет остаток 1 при делении на 4.

Таким образом, сумма квадратов двух чётных имеет остаток 0, для чётного и нечётного остаток 1, для двух нечётных остаток 2, но ни в каком случае он не может быть равен 3.  

 

Следствие. Из леммы 2 следует, что если  простое нечётное число, то оно является и простым гауссовым.

 

Таким образом, составные гауссовы числа могут быть только среди чисел вида . Кроме того, мы докажем менее очевидный факт: что все простые числа вида  представимы в виде произведения сопряжённых гауссовых чисел. 

Лемма 3. Если простое нечётное число имеет вид , то существует , такое, что .

Доказательство. По теореме Вильсона,  для простого числа:

 делится на . В этом случае , кроме того, очевидно,  чётное. Сопоставим остатки крайних чисел в этом факториале, затем соседних с ними и т.д.

, , , ,... таким образом, до  выполняется закономерность: , .

Тогда , то есть 

. 

Если   не делится на 4, то  нечётно, и

, тогда .  

Если   делится на 4, то  чётно, и . 

Таким образом, существует , равное , такое что . 

Теорема Эйлера-Ферма. Если простое нечётное число имеет вид , то оно представимо в виде суммы квадратов . 

Доказательство.

Рассмотрим множество пар , где , .

Строго меньше, так как  простое, значит оно не может делиться на целое число, то есть  точно не будет целым.

Если  обозначает целую часть корня из , то количество таких пар чисел составляет .

 

Напр, если p=17 (25 пар)   0 1 2 3 4

Рассмотрим для произвольного   все числа вида . 

Мощность множества пар больше, чем . При этом множество возможных остатков   имеет максимальную мощность меньше или равную . Значит, для каких-то двух пар  остатки одинаковы:

. 

Обозначив , получим

, тогда . 

Вспомним, что согласно предыдущей лемме, для числа вида , то существует , такое, что .

Тогда выберем такое  и получим , то есть , что означает .  

Так как , , то для квадратов модулей разностей , ,  и . При этом 0 быть не может, так как две пары были разные, тогда .

Единственное число во множестве , делящееся на , это само , так как 0 и  не принадлежат множеству.

Тогда , что и требовалось доказать.   

 

Следствие. Если простое нечётное число имеет вид , то оно является составным гауссовым числом: , . 

 

ЛЕКЦИЯ 16. 3.4.2021

 

Замкнутость сумм квадратов относительно умножения (2 способа, обычный и через модули комплексных).

Лемма. Произведение двух сумм квадратов целых чисел также представляется в виде суммы квадратов:  

 .