Доказательство 1 (без комплексных чисел).

 = , 

= .

Доказательство 2 (с помощью комплексных чисел).

 = ,  

 =  , т.к. .  

 =  =  = .

 

Разложение гауссовых чисел в произведение простых происходит не единственным образом, а с точностью до ассоциированных:

Если , то каждое можно повернуть, например, на 90 градусов (одно в одну сторону, другое в другую) и сумма углов  не изменится.

 =  

Итак,  = . 

Например,  =

и при этом  = . 

 

В связи с этим, и процедура поиска НОД может приводить к разным результатам.

Пример. Построим пару чисел так, чтобы НОД = .

.

Начинаем искать НОД с помощью алгоритма Евклида.

 =  = . 

Теперь ищем остаток. , значит,

.  

Далее делим  на остаток

 = , разделилось без остатка.

Последний остаток , он же НОД, но ведь мы изначально построили эти числа так, что . Однако и  тоже, ведь они ассоциированы, то есть один это другой, умноженный на  : 

. 

Заметим,что верно и следующее:  

.

Дуальные и двойные числа.

Если определить действия с мнимой единицей  иначе, то получаются другие двумерные системы:  

: «дуальные числа»

: «двойные числа». 

Никакая из этих числовых систем не образуют поле, так как содержатся делители нуля, а значит, деление не всегда определено. 

В случае  это и так очевидно,

В случае : 

 = .  

в частности,  = .  

 Гиперкомплексные числовые системы. Кватернионы.

Можно ли обобщить комплексные числа, например, создать систему с двумя мнимыми единицами и числами вида  ? 

       В системе комплексных чисел задана билинейная операция умножения векторов плоскости. Линейное отображение переводит вектор в вектор: . Билинейное отображение даёт результат для пары объектов, . При фиксировании одного из элементов, получается действие только на 2-й элемент, т.е. линейное отображение (линейный оператор) действующий по закону .

Например, умножение на  в комплексной плоскости приводит к повороту на 90⁰: .

 

Линейный оператор задаётся плоской квадратной матрицей порядка n,  для билинейной операции можно построить n линейных операторов умножения на . Тогда в итоге получается объёмная матрица из n³ элементов.

Например, чтобы задать умножение в комплексной плоскости, надо задать умножения всех базисных элементов друг на друга. Можно это записать в виде символьной таблицы:

	1
1	1

 

В векторном виде, используя обозначения , , таблица запишется так:

Подробнее, учитывая все координаты (которых нет, соответствуют 0):

Здесь  векторов, а значит  констант. Если откладывать вниз координаты каждого вектора, а в верхнем слое поместить основание матрицы, то получится такая 3-мерная матрица:

 

 

Рассмотрим две матрицы, являющиеся сечениями - они выделены жёлтым. Это линейный оператор умножения на 1 и умножения на . И здесь одна матрица единичная (задаёт тождественный оператор) а вторая задаёт поворот плоскости на 90⁰. 

 

 и .