Умножение и деление в тригонометрической форме

Умножение, и особенно деление комплексных чисел чаще всего бывает легче выполнять в тригонометрической форме, чем в алгебраической, так как для деления не нужно домножать на сопряжённое в знаменателе.

Формула:   

Доказательство.

 = =

=

используем известные тригонометрические формулы косинуса суммы и синуса суммы, и получим . 

Таким образом, для умножения двух комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, достаточно просто умножить их модули и сложить аргументы.

Заметим, что при умножении на мнимую единицу , а именно при действии , фактически вектор   на плоскости переходит в , то есть как раз и прибавляется аргумент числа , то есть 90 ⁰.

 

Примеры.

Умножить . Во-первых, это можно сделать и без триг.формы:

 =  = . 

В тригонометрической форме: (используем представление чисел, которое сделали ранее).

 = .    = .

 =  =

 =  =

 = .

 = .

Формула деления двух комплексных чисел в тригонометрической форме: = .

Для её доказательства достаточно домножить на :

 = =  =

. 

 

Для деления двух комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, нужно поделить их модули и вычесть аргументы.

Поделить .

 = ,  = . Тогда

 =  =

 =  = .

 

Формула Эйлера

Доказательство.

Способ 1.     

Производная по : 

 =  = . 

Способ 2. Разложение экспоненты по формуле Тейлора: 

 Тогда  

Но , , ,...

Тогда  теперь соберём в отдельные слагаемые все части, где нет , и где есть .

в 1 и 2 скобках - разложения  и . Итак, , что и требовалось доказать.

 

Показательная форма комплексного числа.

По формуле Эйлера, выражение  может быть записано в виде .

Так, например, мнимой единице соответствует аргумент  и модуль 1, поэтому запись в тригонометрической и показательной формах такова: .

 =

Умножение и деление в показательной форме.

В показательной форме.

  = . 

  Пример. Поделить .

Решение.  = =  =  = 

 = .

Формула Муавра, степень. Корни.

Возводить комплексные числа в степень можно с помощью такой формулы:

она называется формулой Муавра и позволяет не перемножать множество скобок, если требуется вычислить большую степень числа.

Доказательство. Если умножим в тригонометрической форме не два разных числа, а одно и то же число , то получим:  

  = .

Таким же образом можно умножить в третий раз и снова в аргументе прибавится , а модуль снова умножится на .

=

 =  

Таким образом, по индукции, можно доказать, что  

= . 

 

Но ещё легче возводить в степень с помощью показательной формы числа: , здесь даже доказывать по индукции нет необходимости.

Пример. Найти  по формуле Муавра.

Вычислим модуль и аргумент.

.

По формуле Муавра, =  =  = 16.

В показательной форме: = =  = 16.

 

ЛЕКЦИЯ 14.  27.3.2021.

 

Степени комплексных чисел в тригонометрической форме можно использовать для выведения различных формул тригонометрии, например, двойных и кратных углов. 

Для степени 2:

, так как угол удваивается.

С другой стороны, можем просто раскрыть скобки при возведении в квадрат:  =

. Сравнивая отдельно действительные и мнимые части, получим хорошо известные формулы:

 = ,  = .  

Для степени 3:

, по формуле Муавра.

с другой стороны, раскроем простым умножением, как в биноме Ньютона: 

 =

. 

Совпадают комплексные величины, значит, совпадают их действительные и мнимые части. Приравняем их:

 =    

 =

Впрочем, далее можно в тех местах, где квадрат синуса или косинуса, представить через основное триг. тождество, чтобы выразить через одну и ту же функцию:

 =   = , 

 =  = . 

 

 

Корни степени n. Корни степени n вычисляются по формуле:

.  

Доказательство. Если возведём в степень n, получим  = .

Получается, что добавка  после возведения в степень станет кратной , то есть точка, отстоящая на угол , просто опишет один лишний оборот вокруг начала координат, то есть к аргументу добавится 360⁰, и придёт в ту же точку, что и было бы без .

При   получается n разных точек.

Докажем, что таким образом найдены все корни, и не существует какого-либо другого -го корня при каком-либо другом .  

Возьмём . Тогда число  можно поделить на  (возможно, с остатком), а именно, , где . Рассмотрим выражение

 =

 =

 =

 =

, где ,

то есть нет нового корня, он совпадает с каким-то из ранее найденных.

 

Замечание. , два значения, частный случай.

 = .

Две точки на окружности – через 180 град.  Eсли число было положительным, то его аргумент был 0, и тогда по формуле  то есть

 =  = , что и соответствует  при  и . К аргументу прибавляется по 360 / 2 = 180 градусов. 

Пример. Найдите все значения корня .

Сначала представим комплексное число, которое находится под знаком корня, в тригонометрической форме.

Точка расположена на мнимой оси выше начала координат, поэтому аргумент , модуль .

 - представление в триг. форме.

Теперь находим все 3 корня.

при k = 0,1,2. , отсюда:

 

1)  k=0:  =  =

2) k=1:  = =

3) k=2:  = =

 

Чертёж:

Если к исходному углу добавить 120 градусов, то для куба этого числа добавится 360 градусов, и результат будет точно такой же. С этим фактом как раз и связано наличие лишнего слагаемого  в формуле.

 

Квадратные корни из -1:

,

 = ,

Углы 90 и 270 град.

1) k=0  =

2) k=1  =

- - - Перерыв - - -

Корни из единицы.

 

Так как , то корни из 1 имеют вид: 

Само число 1, очевидно является корнем любой степени n из 1, и это значение получается при . Обозначим этот корень , 

, ,...

 

Множество корней из 1 обозначим: .

Теорема 1. 1)  абелева группа.

2) , группа корней степени n из единицы изоморфна аддтитивной группе вычетов по модулю n. 

 

Доказательство.

1) Так как  - кольцо, то  - абелева группа, причём . Тогда достаточно доказать, что  подгруппа в  с помощью критерия подгруппы.

Пусть  - два различных корня. Покажем, что , то есть является каким-то корнем из 1.

 = , поделим в тригонометрической форме,

получим  = , а как доказано ранее, любое число такого вида совпадает с каким-либо из n корней из единицы (поделить с остатком, получить на месте  число из множества ).

2) Изоморфизм  можем задать так: . 

 = , где ,  остаток от деления на , если , и  если . При этом верно и  в группе вычетов (если , то класс вычетов определяется остатком от деления на ).

 

Определение. Группа  называется циклической, если существует элемент , такой, что любой элемент из  является его степенью. В этом случае говорят, что группа порождается элементом , обозначение .

Лемма.  - циклическая группа.

Доказательство. Для всякого ,  =

.  

 

Определение. Корень -й степени из 1 называется первообразным, если он не является корнем из 1 с меньшим, чем , натуральным показателем, то есть , но ни при каком : .

 

Пример.  корни 4 степени из 1.  Но  и 1 ещё и в квадрате, а не только в 4 степени, равны 1, то есть для . А вот корни  первообразные.

Лемма. Корень  первообразный для любого n.

Док-во:  при , , и это число в степени  не может быть = 1. 

Теорема 2. Число    есть первообразный корень -й степени из 1  (взаимно просты).