Докажем, что не существует числовой системы нечётной размерности без делителей нуля.

Доказательство. Допустим, что существует система с двумя мнимыми единицами, где числа вида . Умножение на 1 сохраняет любой объект. Отразим это в таблице умножения базисных единиц:

 

 

	1
1	1
			*
		*	*

Здесь осталось 3 элемента, помеченных *, которые ещё надо задать, а именно, . Как бы мы их не задали, в любом случае, умножение на какой-либо фиксированный элемент данной системы - это линейный оператор в 3-мерном пространстве: . Ему соответствует какая-то плоская матрица из 9 элементов . Существует её определитель . Таким образом, можно поставить некое число в соответствие каждой точке пространства. Определитель матрицы умножения на данный элемент отождествляет с элементом данной системы, т.е. с точкой 3-мерного пространства. Таким образом, в 3-мерном пространстве задана непрерывная скалярная функция. Но ведь умножение на противоположный элемент  соответствует оператору, у которого матрица состоит из чисел с противоположным знаком. Это матрица . Так как она порядка 3, то , т.к. коэффициент  выносится из каждой строки, а их всего 3, нечётное количество. Соединяя точки  по сфере, получаем дугу, на которой функция изменяется от  до . Тогда существует какая-то точка , где данная функция обращается в 0. Таким образом, линейный оператор умножения на  является вырожденным оператором, ведь определитель его матрицы равен 0. А если оператор вырожденный, то существует вектор в пространстве, который отображается в 0. Тогда

. Таким образом, , но . То есть, в 3-мерной системе обязательно существуют делители нуля - такие ненулевые элементы, которые при умножении порождают 0.

Аналогичное верно и для любой нечётной размерности, так как для неё .

                                                                                   

Указанные выше причины не препятствуют построению числовых систем  чётной размерности.

Кватернионы.

Если по аналогии перехода от действительных чисел к комплексным, удвоить размерность и образовать числа вида  из пары комплексных чисел, получается 4-мерная система с тремя мнимыми единицами и числами вида , которые называются кватернионами.

При этом  (изначально называем произведение 1-й и 2-й мнимых единиц некоторой третьей мнимой единицей).

Получается антикоммутативная система с умножением:

, , ,        , , .

. Умножение на 1 сохраняет любой объект неизменным.

Таблица умножения базисных элементов системы кватернионов.

	1
1	1

Законы умножения в системе кватернионов , ,  легко запомнить, если представить с помощью цикла:

При умножении каждой пары получается следующий, если двигаться строго по часовой стрелке. Мнимые единицы системы кватернионов подчиняются таким же законам, как векторное умножение в 3-мерном пространстве. , , . Векторное произведение пары векторов есть общий перпендикуляр к ним, причём так чтобы получалась правоориентированная тройка.

Как и для комплексных чисел, здесь есть понятие «сопряжённый кватернион». Если  то . При этом ,

 =

 =

 но система антикоммутативна, т.е. , поэтому все эти суммы в скобках равны 0, вот и остаётся .

вводится понятие модуля кватерниона:  = .

Кватернионы не образуют поле, так как умножение не коммутативно.

«Тело кватернионов».

Алгебра «октав» - 8-мерная алгебра, полученная с помощью удвоения системы кватернионов.

 =

 .  

 

Алгебра матриц вида   

изоморфна алгебре кватернионов.

Достаточно доказать это, рассмотрев только умножение базисных единиц.

1 соответствует ,  , очевидно, что умножение 1 на любой элемент сохраняет его.

 соответствует ситуации . 

 соответствует  ,

 соответствует  ,

:  = .

Аналогично проверяются и другие равенства.

 

Целые p-адические числа

Для фиксированного простого числа  рассмотрим такие последовательности неотрицательных чисел: , где

  и .  

(разность  делится на ). 

Сложение и умножение таких последовательностей будем производить покомпонентно с последующим переходом на каждом месте к вычету по модулю .  

Пример.   . 

 и . 

1 и 2 < 3, 7 и 5 < 9, 25 и 14 < , 52 и 68  < . 

, , ,  

, , ,  

Сумма: 

+  =  рассмотрим по модулю, то есть остатки: .  

Произведение: 

*  = рассмотрим по модулю, то есть остатки: .

*   = .

Единица по умножению. Для неё  выполнено.

 .

 

Для суммы и произведения условие  также выполнено, т.к. сравнения можно складывать и умножать,

, ,

Таким образом, мы получили коммутативное кольцо , которое называется кольцом целых -адических чисел. 

 

Другой способ записи -адических чисел. 

Положим , . Все  обязательно получатся целыми, так как . 

Причём .  

, ,...

Тогда ,  = . 

,  = .

Таким образом, . 

То есть, каждому -адическому числу можно поставить в соответствие бесконечный ряд   , где все .  

При такой записи чисел, сложение и умножение производится просто как в -ичной системе счисления. 

 

 

В рассмотренном примере:

 =

 = . 

Ранее мы находили сумму: , запишем её в виде ряда: 

 (то же самое). 

Ранее мы находили произведение:  тоже запишем в виде ряда: