Комплексная амплитуда напряжения

       Мы лучше вернемся к нашим векторным диаграммам. Как уже было сказано, мы поименуем оси, в которых строим векторные диаграммы. Это не что иное, как  и ; диаграмма строится в комплексной плоскости.

Пусть у нас задано переменное напряжение  (индекс «н» у  означает, что это фаза именно напряжения; у тока она может быть другая). Построим векторную диаграмму. Длина вектора равна амплитуде ; проекция на вещественную ось равна ; проекция на мнимую ось равна . Начало вектора – в начале координат, а его конец – это точка на комп-лексной плоскости, которая соответствует комп-лексному числу, которое мы обозначим .

 - это значение так называемой комплексной амплитуды напряжения. Обычно, точка сверху в физике (как правило, в механике) означает дифференцирование по времени. Но здесь это не так. Точка сверху здесь просто означает комплеснозначность.

       Далее сделаем небольшое отступление и приведем так называемую формулу Эйлера:  (думаю, не нужно пояснять, что ). Разложение экспоненты в ряд Тейлора выглядит так: ; в свою очередь, для косинуса разложения в ряд такое: , а для синуса – вот такое: . Тогда, учитывая, что , , , , получаем:

 

 

Использование формулы Эйлера

Формула Эйлера дает возможность еще полноценнее работать с комплексными числами. Рассмотрим пример: найти логарифм из отрицательного числа по положитель-ному основанию, например . В какую степень нужно возвести 5, чтобы получилось –10? На вещественной оси такого числа нет: в какую бы вещественную степень мы не возвели 5, всегда будет положительное число (оно будет стремиться к нулю, если степень стремится к минус бесконечности). Что же делать? Выходим за рамки вещественной оси и ищем значение нужной степени на комплексной плоскости. Обозначим искомое комплексное число , тогда мы приходим к уравнению . Преобразуем левую часть в соответствии с правилами работы со степенями:

Продолжим преобразования с использованием формулы Эйлера:

Таким образом, . Отсюда получаем систему уравнений для поиска  и :

Из второго уравнения получаем , , . Подставляем в первое уравнение:

Для четных  мы получаем  и , отсюда . Для нечетных  получаем  и , но поскольку  должно быть вещественным числом, этот случай не рассматриваем. Итак, в итоге, множество решений:

, где  - четное число.

Сделаем проверку. Возведем 5 в эту степень:

Последнее равенство сделано с учетом того, что  именно четное, то есть, .

           

Комплексное напряжение

Возвращаемся к нашей комплексной амплитуде напряжения, . Используя формулу Эйлера, можно выполнить преобразование:

Когда мы строим векторную диаграмму, мы откладываем между осью  и вектором угол . Диаграмма получается статична. Если же отложить угол , вектор будет «вращаться» против часовой стрелки. Конец вектора обозначим  - это комплексное значение напряжения. Используя формулу Эйлера, а также свойства экспоненты, выполним преобразования:

Последнее равенство сделано с учетом того, что , как мы получили чуть выше. Итак, комплексное напряжение равняется комплексной амплитуде напряжения, умноженной на , то есть, .