Задачи на активное сопротивление. Задача 5.

В следующей задаче сопротивления расположены в рёбрах куба. Каждое ребро имеет сопротивление . Нужно найти сопротивление между точками  и . Промежуточ-ные точки обозначим , , , ,  и . Перерисуем эту схему в «плоском» виде. А далее построим наши рассужде-ния следующим образом. Из соображений симметрии (см. исходную схему), электрические потенциалы в точках ,  и  равны между собой (общий ток, предположительно, идет между точками  и ). Аналогично, потенциалы рав-

ны в точках ,  и . Если потенциалы в точках равны, эти точки можно соединить между собой (либо просто соединить, либо через сопротивление любой величины). Соединим (просто) между собой точки ,  и , а также точки ,  и . Как видим, схема стала значительно проще.

В этой задаче мы построили рассуждение обратным образом по отношению к тому, когда рассуждали про мост Уитстона. В случае моста Уитстона, если он сбалансирован, центральное сопротивление можно убрать, потому что оно соединяет две точки с одинаковым потенциалом. А в этой задаче наоборот, точки с одинаковым потенциалом изначально не соединены (имеется в виду, напрямую), и мы их соединяем.

Далее задача решается довольно легко: будет три параллельных соединения и одно общее последовательное:

Превращение треугольника в звезду

Далее вернемся ненадолго к мосту Уитстона. Каким образом, все-таки, рассчитать сопротивление между точками  и , если мост не сбалансирован, то есть, если ? Нужно учиты-вать все 5 сопротивлений. Однако, данное соединение не получится разделить на элементарные последовательные и параллельные сое-

динения. В данном случае нам поможет эквивалентное превращение: превращение треугольника в звезду. Давайте разберемся, что это такое.

На следующих рисунках, сопротивления ,  и  соединены «треугольником», а сопротивления ,  и  соединены «звез-дой». Точки ,  и  - это точки соединения с внешней схемой. И они не просто так на обоих

рисунках обозначены одинаково. Под превращением треугольника в звезду подразуме-вается подбор таких значений ,  и  при известных ,  и , что треугольник можно заменить на звезду, и при этом работа внешней схемы не изменится. То есть, подсхемы «треугольник» и «звезда» (при правильно рассчитанных сопротивлениях) являются эквивалентными. А чтобы они были эквивалентными, необходимо, чтобы во-первых, потенциалы в точках ,  и  не изменились, а во-вторых, чтобы токи (и их направления), протекающие в этих точках, тоже не изменились.

       Потенциалы обозначим ,  и , а также укажем направления токов. Направления токов укажем формально (если реально ток будет идти в противоположном направлении, то это значит, что значение тока должно получиться со знаком минус).

В звезде появляется ещё дополнительная точка  (середина звезды).