Комплексное сопротивление. Комплексные сопротивления резистора, конденсатора и катушки

       Можно проделать все аналогичные рассуждения не для напряжения, а для тока. Задав переменный ток  (  - фаза тока), мы получим, что комплексный ток , где  - комплексная амплитуда тока, . И далее введем так называемое комплексное сопротивление:

Последнее равенство сделано с учетом того, что  - общее сопротивление (импеданс) рассматриваемого элемента (двухполюсника). Оно может быть полностью активным, полностью реактивным, либо смешанным.

       Итак, комплексное сопротивление . А импеданс, на самом деле, равен модулю комплексного сопротивления: . Что такое модуль числа? Для вещественных чисел имеет место быть формула

В более широком смысле (для комплексных чисел), модуль числа – это расстояние от начала координат до точки на комплексной плоскости, соответствующей данному числу. В частном случае, для вещественного числа, это расстояние откладывается вдоль вещественной оси. В общем же случае оно определяется по теореме Пифагора: И тогда, в частности,  и , как видно из векторных диаграмм, при помощи которых мы вводили  и . Кроме того, можно

заметить, что у  и  одинаковый модуль. Они отличаются на множитель , а

если два числа отличаются друг от друга на такой множитель, или вообще, на множитель вида  (где  - вещественное число), то они будут иметь одинаковый модуль.        Для тока мы векторных диаграмм не рисовали (имеется в виду комплексная амплитуда тока и комплексный ток), но аналогично запишем  и . Ну и что касается сопротивления, то:

В последнем равенстве использовано основное тригонометрическое тождество.

       Давайте найдем комплексное сопротивление для резистора, для конденсатора и для катушки. У резистора ток и напряжение находятся в одинаковой фазе, то есть, , а под  для резистора подразумевается , тогда:

У конденсатора напряжение отстает от тока по фазе на , то есть , а под  для конденсатора подразумевается , тогда

Последнее равенство получено по свойству .

У катушки напряжение опережает ток по фазе на , то есть , а под  для катушки подразумевается , тогда

Итак, мы получили комплексные сопротивления для резистора, конденсатора и катушки.  Получим комплексное сопротивление для какого-либо соединения, например,

для параллельного соединения резистора и конденсатора. Когда мы подавали на это соединение напряжение, мы выяснили, что ток будет опережать нап-ряжение по фазе на . Значит, . А импеданс данного соединения . Тогда комплексное сопро-

тивление будет равно:

Формула для косинуса арктангенса , формула для синуса арктан-генса , тогда

А учитывая, что  и , можно записать, что .

       Комплексные сопротивления хороши тем, что в некотором смысле ведут себя подобно обычным, активным сопротивлениям.

	Последовательное соединение	Параллельное соединение
Активные сопротивления (рассчитывается суммарное )
Комплексные сопротивления (рассчитывается суммарное )

       В случае более сложных видов комплексных соединений, общее соединение разбивается на отдельные последовательные и параллельные соединения (если это, конечно, возможно).

Таким образом, имеет смысл развить теорию для обычных активных сопротивлений, а затем перенести все рассуждения на комплексные сопротивления.