Замена переменной интегрирования.

Пример 1.

Рецепт. Вводим замену . Отсюда: (вспомним формулу дифференциала) . Тогда (обратная подстановка) .

 

Пример 2.

В таблице элементарных интегралов имеется формула аналогичного интеграла:

 Однако чаще же всего встречается более общий вариант этого интеграла: , где  ─ некая числовая константа.

Рецепт. Выносим  из знаменателя (а, значит, и из-под знака интеграла):

 и делаем замену: . Тогда . А это уже знакомый табличный интеграл. Отсюда . Проводим обратную подстановку  и получаем в результате  

Полученным интегралом рекомендуем пополнить уже имеющуюся таблицу.

 

Приведение к «табличному виду».

Пример 3.  Здесь рассматривается вариант, при котором дискриминант знаменателя существенно отрицательный (остальные варианты исследуются ниже).

Рецепт. Преобразуем трёхчлен знаменателя к виду, похожему на квадратный двучлен табличного интеграла, рассмотренного в Примере 2. Последовательность действий должна быть следующей:

Очевидно, что этот интеграл по своей структуре полностью соответствует интегралу Примера 2: переменной  этого интеграла соответствует переменная , а множителю  соответствует радикал: . Далее . Отсюда решение интеграла:

N.B.! Помните, что нельзя полностью доверять авторам любого учебного пособия (кто из нас не без греха?), в том числе и авторам данного пособия. Поэтому убедительная просьба: для проверки правильности взятия интеграла старайтесь почаще применять первое свойство интегралов!

 

Замена функции.

Для этого приёма характерно многообразие вариантов замены какой-либо функции, входящей в подынтегральную функцию. Удача чаще всего приходит только в случае перебора нескольких вариантов.

 

Пример 4. .

Рецепт. Здесь безальтернативный вариант замены: . Это – табличный интеграл: . Обратная подстановка  приводит к конечному результату: .

 

Пример 5.  

Рецепт. Опытный взгляд обнаружит интересную дробь  ─ дифференциал функции , а в числителе дроби встречается именно такая функция. Отсюда должна появиться естественная мысль сделать замену: . Тогда . В результате этой подстановки имеем табличный интеграл: . Обратная подстановка приводит к конечному результату   .

К этой же группе интегралов, требующих замены функции, относятся такие, в составе которых имеются радикалы ^ой степени , т.е. компоненты типа . Очевидно, такой радикал надо заменить какой-либо переменной того же типа.

 

Пример 6. .

Рецепт. Здесь . Очевидна замена = тогда = . Тогда интеграл легко приводится к = = +С.

Обратная подстановка даёт конечный результат: = +С.

 

Интегрирование «по частям»

Идея этого метода основана на формуле производной произведения двух функций:  [1] и применяется чаще всего тогда, когда подынтегральная функция может быть представлена в виде произведения пары хотя бы одной из следующих функций:  и их вариаций.

Итак, если подынтегральную функцию  можно представить в виде произведения , то сочетание или  можно принять за дифференциал или . Тогда решение интеграла получается по формуле:  

Выбор функций-сомножителей определяется опытом самого решающего. Попытаемся показать это на конкретном примере.

 

Пример 7. .

Рецепт. Альтернатива выбора функций-сомножителей здесь небогатая: либо и , либо . Попробуем пойти первым путём

Вариант 1. . Повторно применяем этот же метод:  и т.д. Очевидно, что этот путь - тупиковый: с каждым новым шагом показатель степени при аргументе растёт и не видно конца этим манипуляциям. Очевидна и причина такого тупика - неудачный первоначальный выбор функции .

Не следует думать, что есть люди, которые ни разу не совершали подобную ошибку, просто из этого надо сделать позитивный вывод: «на ошибках учатся».

А теперь пойдём альтернативным путём:

Вариант 2: . Тогда .

 

Интересной особенностью данного метода является решение «рекурсивных интегралов». Рассмотрим один из вариантов таких интегралов.

        

Пример 8. .

Рецепт. Применим метод «по частям»:

Сопоставив начало и конец этой цепочки, получаем решение .

 

5. Рациональные дроби

Известно [1], что дробь может называться «рациональной», если её числитель и знаменатель ─ целые числа. С этой точки зрения излагаемый дальше метод относится к интегралам вида: , где , а  ─ полиномы порядка  и , соответственно.

С точки зрения соотношения порядков полиномов возможны два варианта:

a) . В этом случае полином числителя «столбиком» делят на полином знаменателя, выделяя тем самым «целую» часть подынтегральной дроби и её «остаток». Тогда исходный интеграл можно представить в виде суммы двух интегралов: , где  

и ─ полиномы соответствующего порядка того же типа, что и исходные полиномы. Первый интеграл – сумма табличных интегралов. Ко второму интегралу применяют обычно метод «неопределённых коэффициентов», суть которого излагается дальше;

b) . Здесь сразу берётся интеграл указанным выше методом.