Тригонометрические подстановки

Часто в состав подынтегральных функций входят радикалы трёх видов: ,  и . В этих случаях применяются соответствующие так называемые «тригонометрические» подстановки:

1. Для - , соответственно.

Рассмотрим применение этой рекомендации на конкретном примере.

 

Пример 21.

Рецепт. Преобразуем подынтегральную функцию = и замещаем аргумент  по одному из двух вариантов (см. выше), например, , тогда . В итоге  = = = . Обратная постановка: , = и  даёт конечный результат  = = + .

2. Для  - . Дальше следует решение примера на эту тему.

 

Пример 22. .

Рецепт. Здесь , поэтому применим вариант замены из двух предложенных выше, например, .

= = . Это уже знакомый интеграл (см. Пример 11), тогда +С. Нетрудно показать, что  = = . После обратной подстановки = = .

Итак, имеем конечный результат: +С.

3. Для  - . Решим соответствующий пример.

 

Пример 23. .

Рецепт. Здесь . Согласно рекомендациям выберем, например, вариант . Тогда искомый интеграл = = . Это интеграл, рассмотренный ранее, тогда промежуточное решение имеет вид: +С. Обратная подстановка даёт окончательное решение  +С.

 

8. Интегралы с иррациональностью типа .

    Рассмотрим один из вариантов таких интегралов на примере интеграла = ., где k, m, … – любые целые числа, =1,2,…, .

Алгоритм решения интегралов такого типа:

1 необходимо найти целое число М – наименьшее общее кратное (НОК) чисел ;

2 дроби  заменить соответствующими им дробями  где ─ целые числа;

3 тогда знаменатель подынтегральной функции принимает вид ;

4 теперь следует очевидная замена: = , отсюда = и = .

Далее, = , а этот интеграл решается по образцу Примера 9 или Примера 10

 

Пример 24. =

Рецепт. При сопоставлении данного примера с вышеприведённым получаем ():

1 , , , , .

2 НОК (, ) = М=12;

3 замена = , = , = ;

4 ,

Интеграл преобразуется: = = = . Здесь полная аналогия Примера 9: = =12 - =

+С.

Таблица 2

Дополнительная таблица интегралов, полученных

в результате промежуточных расчётов

 

		Примечания
	или
	= +С

Образец решения расчётно-графической работы

Решение любого варианта РГР рассмотрим на примере «нулевого» варианта

Таблица 3

«Нулевой» вариант РГР

 

Номер задания	Интегралы
0	1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14.  - решение данного интеграла сопроводить совмещённым графиком функций  и

Примечания

1. Все 25 заданий приводятся в ПРИЛОЖЕНИИ 1.

2. Выполнение каждой задачи данного демонстрационного варианта должен сопровождаться проверкой решения (см. образец).

1. = . Согласно свойствам 3 и 4 («константу желательно выносить за знак интеграла» и «интеграл суммы функций равен сумме интегралов от каждой функции») получаем: = , а это – табличные интегралы, поэтому решение: = .

ПРОВЕРКА = + ─ + = + + . Получено полное совпадение с подынтегральной функцией решаемого интеграла, значит, решение - верное.

Ответ = .

 

2. = = = . Для решения обоих интегралов используем приём «замены переменных»: = для интеграла  и = - для интеграла . Тогда = = . Получаем = (табличный интеграл)= . С помощью обратной подстановки получаем = = .

Аналогичные преобразования для интеграла : = = приводят к результату = = = . Таким образом, общее решение = +С.

ПРОВЕРКА ( +С) = = ─ очевидное совпадение.

Ответ: = + +С.

 

3. = . Если присмотреться к числителю дроби, то без труда можно увидеть элементы производной выражения в знаменателе. Поэтому логично было бы использовать приём «замена функции»: = . Тогда дифференциал = = и интеграл принимает вид , т.е. снова табличный интеграл = . После обратной замены получаем = .

ПРОВЕРКА: = = =

 = = - снова имеем полное совпадение выражения производной результата и подынтегральной функции решённого интеграла.

Ответ = +С.

 

4. = . Подынтегральная функция данной задачи при сравнении с той же функцией Примера 7 наводит на мысль использовать метод «по частям»: = .

ПРОВЕРКА = =

= = ─ интеграл взят верно.

 

Ответ = .

 

5. = . Сравнение этого интеграла с интегралом Примера 8 снова вызывает ассоциации с тем же методом «по частям»: =  = , т.е. = . Тогда вводим

= . Снова применим метод «по частям», но уже к вторичному интегралу: . Продолжим интегрирование: = = = . Но последний интеграл совпадает с исходным интегралом, отсюда получаем следующее равенство = . Тогда 5 =

, = а искомый интеграл ─ = +С.

 

Согласно тексту задания в данном пункте необходимо построить вместе графики подынтегральной и первообразной функции  и , чтобы визуально убедиться в выполнении основного свойства неопределённого интеграла: . Выбор интервала значений аргумента  в общем случае – любой, хотя определённый интерес, например, может представлять анализ поведения этих функций вблизи точек экстремума первообразной функции, т.е. вблизи корней уравнения =0. Из текста решения данного интеграла следует, что подынтегральная функция , а первообразная функция (решение интеграла) = +С. Решаем уравнение: =0. Нетрудно убедиться, что это уравнение имеет бесконечное множество решений: . При  значения обеих функций быстро уменьшаются из-за множителя , а при  наоборот устремляются к , соответственно. Поэтому имеет смысл выбрать, например, интервал . Найдём корни, принадлежащие этому интервалу: . Поскольку  ─ целое число, то эта величина в данном интервале может принять только четыре разных значения: 0,1,2 и 3, что соответствует четырём корням: . Построить совмещённый график Вы можете двумя способами: вручную или средствами Excel. Но в любом случае необходимо иметь таблицу, содержащую исходные данные и поэтому состоящую из трёх колонок. Первая ─ набор значений аргумента , две остальных ─ значения подынтегральной функции  и первообразной функции  для соответствующих значений . Алгоритм создания этой таблицы приведён в Приложении 2. Там же показано, как можно построить необходимый график на базе этой таблицы средствами Excel. В последнем случае построенный в Excel график можно распечатать на принтере и вклеить в отчёт (рис.1).

 

 

Рис.1. Графики подынтегральной  и первообразной  функций, соответственно, построенных средствами Excel.

 

Эти графики построены с использованием табл.4.

Таблица 4

Значения подынтегральной  и первообразной функций .

0	-7,00	-0,65
0,16	-1,15	-1,30
0,31	1,61	-1,20
0,47	0,86	-0,98
0,63	-0,18	-0,94
0,79	-0,30	-0,98
0,94	-0,05	-1,01
1,10	0,07	-1,01
1,26	0,04	-1,00
1,41	-0,01	-1,00
1,57	-0,01	-1,00

Табл.4.Исходные данные: , подынтегральная функция  и первообразная функция .

 

 А теперь тот же рисунок, но выполнений от руки на базе той же таблицы (рис.2).

Рис.2. Графики подынтегральной  и первообразной  функций, соответственно, построенные вручную.

Хорошо видно, что на обоих рисунках нулям подынтегральной функции  в точности соответствуют точки экстремумов первообразной функции , т.е. имеет место наглядное подтверждение свойства .

Естественно, что вы должны оформить любой из этих рисунков на ваш выбор.

ПРОВЕРКА: =

= = = ч.т.д.

Ответ: =. +С.

 

6. = . Согласно рекомендациям на с.13─14 проводим замену функции  на функцию = = . Тогда искомый интеграл получит вид =

 = = . Поэтому в соответствии со свойством 4 с.5 («интеграл суммы функций» равен «сумме интегралов») с использованием табличного интеграла  получаем = ─ + = ( + - ). После обратной подстановки  получаем: = ( + ) + С. Кстати сказать, с аналогичным интегралом можно познакомиться в Примере 14.

ПРОВЕРКА ( ( ─ + )+С) =  + ( +

))= ( ─ + ─

─ ─ + ─ )= (1─ ). Используя основное тригонометрическое тождество , переписываем полученное выражение: (1─3 +3 ). Дальнейшие преобразования в скобках дают конечный результат: , подтверждающий правильность решённого интеграла.

Отве т: = ( + )+С.

 

7. = . Воспользовавшись известными тригонометрическими формулами  и , преобразуем подынтегральную функцию и получаем: = = =

+С, где = , а = .

Сначала с помощью формулы  решаем первый

интеграл = = , где

1 = = ;

2 = =(снова замена аргумента)= ;

3 = =(удвоение аргумента)= = + + ;

4 = = = =(уже знакомым приёмом = )= =

.

После обратной замены = .

Возвращаемся к первому интегралу: = + + .

Второй интеграл решаем с помощью аналогичной замены: = = = . = = . После обратной замены = .

Собрав вместе результаты расчётов, получаем конечный результат:

= +С.

 

Авторы приносят извинения, но в виду того, что проверочные преобразования данной задачи оказались чрезвычайно громоздкими, мы не приводим подробно проверку! Желающие могут попробовать сделать это самостоятельно.

Ответ: = +С.

 

8. = . В этом интеграле подынтегральная функция (см. с. 16) последовательно преобразуется к форме, содержащей только степени функции  и её дифференциал: . Воспользовавшись формулой = + и введя замену , получаем интеграл  = . Этот интеграл легко решается:

= +С= +С.

После обратной подстановки получаем = +С.

N.B.! Этот алгоритм, естественно, не единственный: можно было бы сделать замену  или  и др.

ПРОВЕРКА

=

─ +

=

=

= =

= ─ правильность решения подтверждена.

Ответ: