N.B. Несколько позже мы рассмотрим решение этого же интеграла другим способом.

 

Тригонометрические функции.

 

Специфика взятия интегралов, в которых подынтегральная функция включает в себя тригонометрические функции, заключается в большом разнообразии возможных приёмов интегрирования. Это обусловлено таким же большим разнообразием тригонометрических формул, с помощью которых можно представить одну и ту же тригонометрическую функцию.

Ниже мы рассмотрим наиболее часто используемые приёмы для решения таких интегралов, а пользователь может по своему усмотрению применять тот или другой приём для решения интегралов из своего задания.

 

6.1. Интегралы типа , .

а) вариант  (нечётная степень): . Подход к этим интегралам одинаковый, поэтому сначала рассмотрим, например, интеграл . Перепишем его в другой форме: . Очевидна замена: . Тогда . После раскрытия скобок для соответствующего значения искомый интеграл приводится к алгебраической сумме интегралов от степенной функции. Аналогично решается и интеграл  с той лишь разницей, что заменяется .

 

Пример 12.

Рецепт. Вводим замену . = . После обратной подстановки получаем решение:

б) вариант  (чётная степень): .

    Для данных интегралов используется другая схема: с помощью известных в тригонометрии формул  и  вдвое понижается степень и во столько же раз возрастает значение аргумента. Интеграл преобразуется в алгебраическую сумму интегралов от  в соответствующей степени (но отнюдь не обязательно!). Для интегралов с этой функцией в нечётной степени применяем способ из Примера 11, а для случая с чётной степенью – нужно ещё раз удвоить аргумент и т.д.

 

Пример 13.

Рецепт. С помощью приведённых выше формул преобразуем интеграл:

.

6.2. Интегралы типа

Интегралы этого типа несколько сложнее интегралов из предыдущего раздела. Возможны, естественно, три варианта:

а) один из показателей степени нечётный, другой─ чётный, т.е.

либо , либо , где  и  ─ целые числа.

Рассмотрим, например, первый вариант и преобразуем интеграл к виду: . Вид последних двух сомножителей наводит на очевидную мысль, что необходимо ввести замену  и воспользоваться основным тригонометрическим тождеством . Тогда интеграл примет вид: .

Раскрывая скобки для соответствующих степеней, получаем сумму интегралов от степенной функции.

 

Пример 14.

Рецепт. Вводим замену  и получаем . Обратная подстановка приводит к окончательному ответу .

б ) оба показателя чётные: . Тогда с помощью формул  и  интеграл преобразуется: . Раскрываем скобки и получаем алгебраическую сумму табличных интегралов.

 

Пример 15.

Рецепт 1. Используя преобразования, описанные выше, получим интеграл

. Здесь . Используем замену: . Тогда . Сделаем обратную подстановку и получим желанное решение: .

Рецепт 2. Можно использовать и другой путь: . Тогда подынтегральная функция получит следующий вид: = , а сам интеграл: = =  - = - = .

    Совпадение конечного результата по обоим рецептам свидельствует о правильности альтернатив решения одного и того же интеграла.

в) и, наконец, третий вариант – оба показателя нечётные:

. Преобразуем интеграл к виду: . Снова воспользуемся формулами удвоенного аргумента функции косинуса: . Очевидно, что напрашивается замена: : тогда интеграл принимает вид: . Снова интеграл доведён до состояния, когда его можно представить в виде алгебраической суммы табличных интегралов.

 

Пример 16

Рецепт. Используем преобразования, описанные выше, и получаем интеграл

. Замена:  

преобразует интеграл

. После обратной подстановки имеем решение .

    Каждый из этих трёх вариантов решения требует своего подхода. Но есть ещё один приём:

г) «универсальная тригонометрическая подстановка» , для которой находим дифференциал  Отсюда Применим этот приём к уже знакомому интегралу из Примера 11 . Подставив введённые выше выражения для  и , получаем интеграл:  Очевидно, что теперь можно использовать «метод неопределённых коэффициентов»:  Решаем простую систему линейных уравнений: . Результат:  Продолжим решение интеграла: =  Возвращая этот результат в исходный интеграл и делая обратную подстановку, получаем  Сравните этот результат с результатом Примера 11 и проверьте, нет ли расхождения.

 

N.B.! Имеются данные [1], что использование «универсальной подстановки» может привести к громоздким преобразованиям, что несколько снижает его ценность.

6.3. Интегралы типа

Поверхностный взгляд на подынтегральные функции данной группы вызывает очевидные ассоциации с формулами  и . Вспомним, что:

Рассмотрим для примера решение интеграла . Для него подходит первая из этих формул. В результате такого преобразования решением этого интеграла будет

.

Аналогично решаются и остальные интегралы.

 

Пример 17.

Рецепт. Применив одну из ранее приведённых формул, получаем решение:

.

 

6.4. Интегралы типа

 

Такого рода интегралы сводятся к табличным интегралам простой подстановкой:  для первого интеграла и  - для второго.

 

 

Пример 18.

Рецепт. Используем замену  и получаем решение = . После обратной подстановки получаем решение: .

 

Пример 19.

Рецепт. Ранее был рассмотрен интеграл , поэтому данный интеграл решаем рассмотренным ранее методом «по частям»:

 Нетрудно заметить, что мы снова имеем рекурсию. Отсюда искомый интеграл

 

6.5. Интегралы типа .

    К таким интегралам наиболее эффективно (а зачастую – единственным образом) применение описанной выше «универсальной подстановки»:

Вспомним, что , , и (см. стр. 16) . Тогда интеграл примет вид:  = = = .

    В зависимости от конкретного сочетания значений коэффициентов  получаем два основных исхода (с вариациями):

1. см. Пример 4.

2. . Этот случай, в свою очередь, распадается в зависимости от знака дискриминанта знаменателя = на два варианта:

2а:  ─ см. Пример 3;

2б: ─ см. Пример 9.

Рассмотрим конкретный пример:

 

Пример 20. .

Рецепт. Здесь , , , = .

Согласно вышеприведённой формуле с использованием универсальной подстановки данный интеграл получает вид = = . Значение дискриминанта . Тогда корни трёхчлена знаменателя вычисляем по формуле = . В соответствии с методом «неопределённых коэффициентов» =

= . Отсюда имеем систему двух линейных уравнений для коэффициентов  и : . Тогда  и , а = . Обратная подстановка  даёт конечный ответ +С.