Метод «неопределённых коэффициентов»

Известно [1], что любой полином ^го порядка (n≥2) можно представить в виде произведения:

1  (коэффициента при старшей степени полинома);

2 двучленов типа ;

3 и трёхчленов типа

где  - действительные числа, (причём ),  действительный корень полинома  и  - кратности соответствующих сомножителей, при условии, что . По отношению к полиному знаменателя  это означает, что подынтегральную функцию можно представить в виде суммы дробей типа  и  ( и - некие числовые коэффициенты) с соответствующими кратностями (повторами корней). Тогда нахождение интеграла от рациональной дроби сведётся к взятию табличного интеграла типа  и интеграла типа , способ решения которого для =1 рассмотрен в Примере 2. Остаётся только освоить методику разложения рациональной дроби на соответствующие слагаемые.

Рассмотрим несколько примеров на эту тему.

Пример 9. .

Рецепт. Здесь порядок полинома числителя больше порядка полинома знаменателя, поэтому делим «столбиком» числитель на знаменатель:

Таким образом, , где = = . Здесь действительные числа, которые подбираются следующим образом:

1 сложим дроби: ;

2 затем приравняем коэффициенты при соответствующих степенях аргумента и получим систему двух линейных уравнений для и : ;

тогда решение этой системы:  

Отсюда интеграл .

Таким образом, общее решение можно представить в следующем виде .

Пример 10. .

Рецепт.

1. Здесь порядок полинома числителя меньше порядка полинома знаменателя, поэтому не нужно выделять целую часть.

 2. В предположении, что данный интеграл можно решить методом неопределённых коэффициентов, попробуем разложить полином знаменателя на множители.

Согласно теореме Виета, свободный член любого полинома равен произведению всех его корней на множитель , где – порядок полинома. Здесь , тогда этот множитель равен единице. Попробуем подобрать хотя бы один целый корень, возьмём, например, . При  значение полинома: 1-2+4-6+3=0, т.е.  – один из корней. Теперь поделим исходный полином «столбиком» (см. выше) на двучлен  и получим полином третьего порядка . Сгруппируем соответствующие слагаемые: . Таким образом, подынтегральная функция должна иметь вид . В знаменателе имеется двучлен  кратности 2 и «усечённый» трёхчлен с отрицательным дискриминантом. В этом случае подынтегральную функцию можно представить в виде суммы дробей:

 (здесь, как и раньше коэффициенты  - действительные числа).

Обратите, пожалуйста, внимание на тот факт, что порядок полиномов в числителях этих дробей ровно на единицу меньше порядка полиномов в их знаменателях!

В результате сложения этих дробей получаем дробь: , числитель которой должен в точности совпадать с числителем дроби исходной подынтегральной функции. Это позволяет сформировать систему теперь уже четырёх линейных уравнений для этих коэффициентов: .

Нетрудно показать, что решение этой системы:  и исходный интеграл равен сумме трёх интегралов: . Первые два – табличные и их результат: . Решение последнего интеграла: . Итак, ответ:

Обратите внимание на то, что громоздкий интеграл был сведён к комбинации табличных интегралов (решение последнего интеграла – см. Пример 3).

Пример 11. .

Рецепт. Покажем, что этот интеграл можно достаточно просто решить тем же методом «неопределённых коэффициентов». Для этого домножим числитель и знаменатель на . Подынтегральная функция примет вид . Опытный взгляд сразу увидит в числителе дифференциал функции . Отсюда возникает желание ввести замену: . Далее подставляем эти выражения в подынтегральную функцию, и интеграл приобретает следующий вид:  и готов к приложению к нему метода «неопределённых коэффициентов»: . Знакомым уже способом получаем систему уравнений: . Из решения системы следует:  и . После обратной подстановки  получаем окончательный результат: .

Это очень полезный результат, поэтому есть смысл записать его в дополнительную таблицу неопределённых интегралов (см. табл.2).

Легко показать, что аналогичный интеграл = . С учётом формул  и  получаем ещё один вариант решения этого интеграла: = +С. И этот результат рекомендуем внести в ту же дополнительную таблицу.