Тензор энергии – импульса непрерывной системы.

                                                                                                                          Пусть имеется скалярная функция, определенная в четырехмерном пространстве. Потребуем, чтобы функция  была инвариантной относительно сдвига координат на малую величин . В этом случае преобразования функции можно представить следующим образом:

                                        (2.8)

В этом выражении введены следующие обозначения:

- вариация функции по форме,

- вариация функции, обусловленная смещением аргумента.

Поскольку справедливо соотношение

                              =                        (2.9)

то из (2.8) и (2.9) следует

                                                                                  (2.10)

Требования инвариантности Лагранжиана непрерывной системы относительно преобразования  представим соотношением

                                                 (2.11)

В (2.10) вместо функции подставим L и вычислим вариацию

                                                             (2.12)

Поскольку функция непрерывной системы  удовлетворяет уравнению(2.7), т.е.  ,тогда (2.12) можно представить так,

,

а соотношение (2.10) для L будет иметь вид

                                                (2.13)

где было использовано , т.е. считаем, что  не изменяется при трансляциях на вектор . Таким образом, из (2.13) следует:

                                                                (2.14)

Если компоненты  независимые, то из (2.14) получим

                                                                                                    (2.15)

где в уравнении (2.15) тензор  равен

                                                                          (2.16)

Тензор  называется тензором энергии – импульса, а (2.15) – уравнение непрерывности для . С помощью компонент тензора  определяются энергия и импульс непрерывной системы. В самом деле, компонента  имеет вид

                                                                                 (2.17)

Поскольку для непрерывной системы - обобщенная координата, а -плотность обобщенного импульса, то является плотностью энергии непрерывной системы. В случае, когда - многокомпонентная функция, тогда определение (2.16) имеет вид

                                                              (2.18)

Введем четырехмерный вектор

                                                                                          (2.19)

В этом случае видно, что компоненты

                               ,                      (2.20)

а трехмерная часть вектора  (2.19) определяется так:

                                                                           (2.21)

Компонент имеет физическую интерпретацию четырехмерного импульса непрерывной системы.

 

Плотность тока непрерывной системы.

                                                                                                                          В случае квантовомеханических систем, когда состояния определяются в общем случае комплексными волновыми функциями и комплексно – сопряженными функциями , Лагранжиан является функцией

Согласно квантовой механике плотность вероятности состояния квантовомеханической системы. Нетрудно убедиться, что  инвариантно относительно калибровочных преобразований следующего вида:

                                                                                                    (2.22)

                                                                                              (2.23)

где  - постоянная величина.

                                                                                                                          Если  малая величина, тогда заменив  на  в (2.22) и (2.23) получим:

                            ,                             (2.24)

                   .                    (2.25)

 Из (2.24) и (2.25) видно, что изменение функции  обусловлено только вариацией  и  при неизменных координатах и времени. Требование инвариантности Лагранжиана системы относительно преобразований (2.24) и (2.25) имеет вид:

                                                                                               (2.26)

Расписывая соотношение (2.26) с учетом варьирования и уравнений движения

,

получим:

                                        (2.27)

Из (2.27), а также (2.24) и (2.25), следует

                                                               (2.28)

Введем определение плотности четырехмерного тока вероятности

                                                              (2.29)

В этом случае (2.28) примет вид:

                                                                                                (2.30)

т.е. является уравнением непрерывности для плотности потока вероятностей. Если ввести , а вектор считать плотностью тока вероятностей, то (2.30) можно записать так:

                                                =0.                                               (2.31)

                                                                                                                          Уравнение (2.31) является законом сохранения плотности вероятности квантовой системы в локальной форме.