Функции Грина спинорного и фотонного полей.

 

Определим функцию Грина . Для этого воспользуемся представлением этой функции в виде четырехмерного интеграла Фурье

                                             (7.8)

где  - импульсное представление функции Грина.

   Аналогичное разложение Фурье справедливо для четырехмерной - функции.

                                                           (7.9)

Подставляя (7.9) и (7.8) в (7.6), получим

 

Таким образом, функция Грина в импульсном представлении имеет вид:

                                                                                      (7.10)

Согласно (7.8) функция  определяется с помощью четырехмерного интеграла

                   (7.11)

Как видно из (7.11), интеграл по  имеет полюс  а поэтому определение этого интеграла надо рассматривать отдельно.

   Для определения амплитуды взаимодействия электромагнитного поля с заряженными частицами нам понадобится запаздывающая функция Грина , с помощью которой учитывается запаздывающее действие источника.

С этой целью перейдем в комплексную плоскость переменной  и сместим на бесконечно малую величину  полюса интеграла (7.11) с действительной оси, что обеспечит определенный путь обхода полюсов.

Функция Грина (7.11) в этом случае будет определена следующим образом:

 

                                          (7.12)

В выражении (7.12) выделим интеграл по

                                                          (7.13)

Где  

Интеграл (7.13) имеет два полюса (см. рис. 1).

Рис.1 Контур интеграла (7.13) для .

Согласно лемме Жордана из теории функций комплексного переменного при  интеграл по нижней полуокружности равен нулю при стремлении её радиуса к бесконечности. Поэтому интеграл (7.13) по контуру рис.1 будет равен вычету в полюсе

                           (7.14)

где , а функция  определена так

 .

Если воспользуемся определением (5.54) функций спинорного поля  и учтём, что   то

                       (7.15)

Функция Грина для вектора магнитного поля определяется аналогичным образом, только нужно учесть, что m =0. В результате получим

                                                                (7.16)

 

3. Определение амплитуды процессов взаимодействия фотонов с заряженными частицами в рамках теории возмущений.

 

Одной из основных задач теории элементарных частиц является описание их взаимодействия и определение на этой основе характеристик и основных свойств элементарных частиц.

Представление о взаимодействии элементарных частиц разбивается на определение начальных состояний свободных частиц до взаимодействия, и определения состояний продуктов реакции после взаимодействия.

Теория взаимодействия должна предсказывать вероятность обнаружения в определённом конечном состоянии частиц, которые являются продуктами реакции.

Решая уравнения взаимодействия (6.16 – 6.18) можно определить вероятность процессов взаимодействия. Согласно квантовой механики, вероятность процессов рассеяния амплитуды, разложения в интеграл Фурье функций взаимодействующих полей.

Включение и выключение взаимодействия частиц осуществляется в моменты времени  и   соответственно. Считается, что до и после взаимодействия состояния частиц определяются плоскими волнами. Так спинорные частицы будут определяться функциями:

                                                              (7.17)

                                                          (7.18)

где  и - биспинор и дираковски-сопряжённый биспинор, принимает значения .

Волновые функции (7.17) и (7.18) удовлетворяют условию нормировки:

.    (7.19)

Биспиноры  и  в импульсном представлении удовлетворяют следующим соотношениям:

                                                                             (7.20)

                                                                                  (7.21)

где

Методом итераций интегральное уравнение (7.7) можно представить в виде:

   

   (7.22)

Фактически в этом выражении приведено разложение функции  по константе взаимодействия . Представим разложение (7.22) в виде соотношения

                                                                               (7.23)

 

Где индекс указывает до какого порядка по константе учитывается разложение функции . Например,  в (7.22) выглядит так:

                                     (7.24)

Поскольку функции  удовлетворяет условию нормировки (7.19) и являются независимыми, то функцию  можно разложить по

                          
                                                   (7.25)

Коэффициенты разложения (7.25) можно определить, воспользовавшись опять условием ортонормировки функций .

                                                   (7.26)

В соотношении (7.26) в правой части воспользуемся разложением (7.23).

В результате получим:

      (7.27)

В уравнении (7.27) введено обозначение

 
   (7.28)

 

При использовании этого выражения в случае конкретных вычислений амплитуд процессов взаимодействия, будем руководствоваться асимптотическими условиями: