Решение уравнения Дирака и определение динамических переменных в импульсном представлении.

Для получения импульсного представления динамических переменных решим уравнения Дирака (5.1). В уравнении (5.1) волновая функция  

представляется в виде столбца, который имеет четыре компоненты. Обозначим их . Каждая компонента  удовлетворяет волновому уравнению КГФ. Поэтому в общем случае зависимость волновой функции  от четырёхмерного аргумента х можно представит следующим образом

 

                                                               (5.28)

где  - функция – столбец, зависящий от  и ε.

Подставим функцию  вида (5.28) в уравнение Дирака в гамильтоновой форме (5.10). В результате получим

 

                                                                                              (5.29)

Введём теперь спинорные функции:

В этом случае, учитывая матричную структуру  (5.10), нетрудно установить два уравнения:

                                                                    (5.30)

                                                                       (5.31)

Однородная система алгебраических уравнений (5.30) и (5.31) имеют решение в том случае, если её определитель равен нулю, т.е.

                                                                         (5.32)

Из уравнения  (5.32) следует

Следовательно, уравнение Дирака имеет решение с  и .       

 В случае, когда , решение уравнений (5.30) и (5.31) можно представить в виде

                                                                                           (5.33)

 

Если , то из уравнений (5.30) и (5.31) следует

                                                                                           (5.34)

     Таким образом, уравнение (5.1) имеет решения с  и , которые можно представить следующим образом:

                              (5.35)

 

                                    (5.36)

В свою очередь спинор  разлагается по векторам  и :

.

Вектора  и   являются собственными векторами оператора проекции спина  с собственными значениями и  . В таком случае  и  являются амплитудами вероятности нахождения частицы в состояниях с проекцией спина и  соответственно. Аналогичные аргументы справедливы для спинора . В результате приходим к выводу, что уравнение Дирака имеет 4 решения, соответственно:

                                   (5.37)

                                                (5.38)

В выражениях (5.37) и (5.38) введём обозначения:

                        (5.39)

Спиноры представляются в виде векторов состояний

Определим теперь условие нормировки волновых функций (5.37) и (5.38). Одна из нормировок, которая часто используется, представляется в виде

                                 (5.40)

   Подставляя (5.37) и (5.38). и используя соотношение  получим

 

                                                                                         (5.41)

В уравнении (5.41) были использованы биспиноры (5.39)  и  Нормированный множитель выбран так, чтобы  

В самом деле, согласно (5.39)

Отсюда следует, чтобы выполнялось нормировка (5.41)  должно быть.

Таким образом, с учётом нормировки (5.41) биспиноры имеют вид

                                                        (5.42)

                                               (5.43)

Из дифференциальных уравнений (5.19) и (5.20) следует, что биспиноры (5.42) и (5.43) удовлетворяют алгебраическим уравнениям

                                                                        (5.44)

                                                                            (5.45)

В свою очередь дираковски-сопряжённые биспиноры удовлетворяют уравнениям

                                                                               (5.46)

                                                                           (5.47)

Волновая функция  используется для определения состояний частицы, а функция - античастицы, где последовательное описание реализуется в квантовой теории поля посредством операции зарядового сопряжения.

Получим теперь выражение для тензора энергии-импульса и тока дираковского поля.

Общее решение уравнения Дирака (5.1) можно представить в виде интеграла Фурье вида:

 

      ,  (5.48)

где

Из (5.48) нетрудно получить выражение для дираковски – сопряжённого поля

           (5.49)

Подставляя выражения (5.49) и (5.50) в определения  (5.22) и  (5.25), а также используя общие соотношения и условие нормировки (5.40), получим

                                            (5.50)

                                           (5.51)

                               .                       (5.52)

Таким образом волновая функция частицы спина  имеет вид

                                                            (5.53)

Коэффициенты  и  в интегральных представлениях (5.48) и (5.49) являются амплитудами вероятности нахождения частицы и античастицы в квантовых состояниях с определёнными значениями  и . Поэтому W имеет смысл средней энергии фермион-антифермионного поля, а  и Q- среднего импульса и заряда этого поля соответственно.