Определение сечений рассеяния электронов в кулоновском поле.

Вероятность перехода электрона в процессе рассеяния в трехмерный элемент импульса  равен

 

          (8.7)

 

где - постоянная тонкой структуры.

Квадрат δ – функции в (8.7) определим исходя из соотношения

                                 (8.8)

Из (8.8) следует, что

                  .                         (8.9)

Следовательно, вероятность перехода в процессе рассеяния в единицу времени равна:

 

              (8.10)

 

Сечение рассеяния определяется, как отношение R к падающему потоку начальных частиц:

                            .                                          (8.11)

Учитывая нормировку волновых функций , получим

                                                                   (8.12)

где .

Таким образом, выражение для дифференциального сечения рассеяния электронов на кулоновском поле принимает вид:

 

        (8.13)

 

Из соотношения

следует, что

                                                             (8.14)

 

Поэтому, выполняя интегрирование в (8.13) с учетом δ-функции и соотношения (8.14), получим

 

                                  (8.15)

 

В случае, когда поляризация начальных и конечных электронов не учитывается, тогда выполняяют усреднение по поляризациям начальных электронов и суммирование по поляризациям конечных электронов в (8.15)

 

                                                      (8.16)

 

3. Вычисление следов γ-матриц и кинематических соотношений процесса рассеяния.

Вычислим теперь сумму по поляризациям электронов в (8.16).

Сумму по спиновым состояниям запишем в виде:

 

 

 

 

               (8.17)

 

 

В этом выражении по повторяющимся индексам  приводится суммирование по компонентам биспиноров, .

Учитывая, что

,

выражение (8.17) можно свести к вычислению следа:

 

     .    (8.18)

 

В общем случае вычисление следов произведения γ-матриц основывается на соотношениях

                                 ,                               (8.19)

 

                                   .                                 (8.20)

 

В соотношении (8.20) введена -матрица

При вычислении следов произведения γ-матриц необходимо иметь в виду, что

В самом деле

 

Теперь можно показать, что след произведения нечетного числа γ-матриц равен нулю. Действительно,

 

 

  

                                                       (8.21)

 

При доказательстве (8.21) используется соотношение (8.20) и тот факт, что

Из соотношения (8.19) следует, что

 

 

Таким образом, очевидно

                                                                                        (8.22)

Аналогичным образом, используя (8.19) можно показать, что

 

                     (8.23)

 

Если (8.22) умножить на четырехмерные векторы , а (8.23) на четырехмерные векторы  и просуммировать по индексам , то получим

 

                                  ,                                  (8.24)

 

                     (8.25)

 

Теперь вычислим след в (8.18)

 

 

Чтобы воспользоваться (8.25), был введен четырехмерный вектор «a» с компонентами

.

Таким образом, результаты вычислений следа можно представить в виде соотношения

 

                                              (8.26)

 

Учитывая теперь (8.18) и (8.26) в определении (8.16), получим

 

                                              (8.27)

 

Как было отмечено ранее, процесс рассеяния является упругим, следовательно

В этом случае

 

 

где θ - угол рассеяния, .

Квадрат переданного импульса равен:

 

.

 

Подставляя полученные кинетические соотношения в выражение (8.27) получим формулу Мотта для дифференциального сечения рассеяния электронов в кулоновском поле

 

                  (8.28)

 

Множитель в круглых скобках в (8.28) обязан своим происхождением наличию у электрона спин ½, ибо возникает он при вычислении суммы по поляризациям электрона. Если осуществить замену

,

то получим формулу Резерфорда

 

                                  ,                              (8.29)

 

которая определяется в случае рассеяния заряженной частицы спина нуль на кулоновском центре.

 Таким образом, наличие у электрона спина связано с изменением зависимости дифференциального сечения от угла рассеяния.

В нерелятивистском случае, когда E~m и  <<1, из (8.29) следует, что

 

В этом случае  имеет сингулярность при θ→0, что обусловлено дальнодействующим характером кулоновского взаимодействия.

В области высоких энергий, когда E>>m, , сечение рассеяния имеет вид

 

Из этого соотношения видно, что быстрые электроны будут рассеиваться преимущественно вперед.

 

 

Библиографический список.

1. Бьёркен, Д.Д. Релятивистская квантовая теория поля: в 2 т. /Д.Д. Бьёркен, С.Д. Дрелл.- Москва:Наука,1978.- Т.1:Релятивистская квантовая механика. -296с.

2. Богуш, А. А. Введение в теорию классических полей / А. А. Богуш, Л.Г. Мороз. — Минск: Наука и техника, 1968. — 387 с.

3. Богуш, А.А. Введение в калибровочную полевую теорию электрослабых взаимодействий / А.А. Богуш. –Минск: Наука и техника, 1987.-359с.

4. Биленкий, С.М. Введение в диаграммную технику Фейнмана: учеб. пособие для вузов / С.М. Биленкий-1-е изд. –М.: Атомиздат, 1971. -215 с.С.М.

5. Москалёв, А.Н. Релятивистская теория поля / А.Н. Москалев.- Санкт-Петербург, 2006.-206с.

6. Гальцов, Д.В. Классические поля / Д.В. Гальцов, Ю.В. Грац, В.И. Жуковский. -изд. МГУ, 1991.-150с.