Финансовая рента. Вычисление наращенной суммы.

 

Рента (нем., фр.) – регулярно получаемый доход на капитал, облигации государственных займов, имущество или землю. Синоним (лат.) - аннуитет.

Во многих современных финансовых операциях имеют место не разовые платежи, а серия выплат/доходов - взносы в пенсионный фонд, арендные платежи, погашение долгосрочного кредита, получение процентов по ценным бумагам, депозитам и т.п. В этих случаях приходится оценивать текущую и будущую стоимость денежных потоков, а не единичных расходов или поступлений.

Последовательность фиксированных (равных) платежей или доходов, производимых через одинаковые интервалы времени в течение ограниченного (срочная) или неограниченного (бессрочная) времени называется финансовой рентой или аннуитетом.

Предполагается, что платежи не распределены во времени, а сконцентрированы либо в начале (поток пренумерандо), либо в конце временного интервала (поток постнумерандо). Потоки легко переводятся друг в друга: FV_prе=(1+r)FV_pst, PV_prе=(1+r)PV_pst. На практике, особенно при анализе инвестиционных проектов, больше распространен поток постнумерандо.

Решим сначала простую задачу – нахождение будущей стоимости денежного потока (капитализации, компаундинга, наращенной суммы). Задача решается просто: поток рассматривается как сумма разрозненных отдельных платежей/доходов и к каждому члену этой суммы применяется формула (2.2.2), оценивающая будущую стоимость этого члена. Затем производится суммирование, которое и дает будущую стоимость денежного потока. Процедура представлена на рис. 2.4.1.

      

Год	0	1	2	.....	n-1	n	Будущая (для t=n) стоимость платежа/ дохода
Текущая стоимость платежа/ дохода		А	А	.....	А	А

 

                                                                                                                            А 1

                                                                                                                А(1+r)

                                                                                                      А(1+r)^n-2

                                                                                                      

                                                                                                      А(1+r)^n-1

Рис. 2.4.1. Будущая стоимость аннуитета постнумерандо.

 

Если сложить все члены (будущие стоимости) последнего столбца (см. рис. 2.4.1) получим выражение, которое является суммой членов геометрической прогрессии со знаменателем (1+r). Формула для нахождения суммы (S_n=a₁(1+q+q²+…+q^n-1) = a₁(qⁿ-1)/(q-1)) дает значение:

         

                FV^A=A(1+(1+r)+(1+r)²+…..+(1+r)^n-1)=

=A = A F₃(r,n)                                             (2.4.1)

 

В этой формуле выражение F₃(r,n) является будущей стоимостью единичного денежного потока, длящегося "n" периодов с процентной ставкой "r". Эта функция в силу частой применимости протабулирована и входит в набор стандартных функций для финансовых расчетов. Она также называется коэффициентом наращения ренты, коэффициентом капитализации денежного потока (см. приложение 3).

Если денежные платежи/поступления идут не раз в год, а "m" раз, то будущая стоимость аннуитета находится по формуле, которая является модификацией формулы (2.4.1):

 

FV^A=A = A F₃(, n m)                                   (2.4.2)

 

Пример 9. Помещение сдается в аренду на 7 лет. Арендные платежи вносятся ежегодно в конце года (поток постнумерандо) в размере 200 тыс. руб. и вносятся в банк на счет владельца помещения. Банк на внесенные суммы начисляет процент по ставке 20 % годовых. Найти сумму, которую получит владелец помещения в конце срока аренды. Предполагается, что деньги со счета сниматься не будут в течение всего 7-летнего периода.

Решение. По формуле (2.4.1) находим:

 

FV^A=200 тыс. руб. =200 тыс. руб./год 12,915 год=2583 тыс. руб.

Пример 10. До погашения облигации остается 5 лет. Процентные платежи по ней осуществляются два раза в год из расчета 24 % годовых. Номинальная стоимость облигации равна 700 руб. Будем считать, что процентные платежи инвестируются под 30% годовых. Найти капитализированную сумму, которой будет располагать инвестор после погашения облигации.

Решение. Искомая сумма будет состоять из двух величин: будущей стоимости аннуитета (процентных выплат) и номинальной стоимости облигации.

Величина процентных выплат равна:

 

А=700 руб. 84 руб.

 

 

Искомая сумма будет (см формулу (2.4.2)) равна:

FV=84 =84 руб/год 20,3 год +700 руб. =1705+700=2405 руб.