Математическая модель динамики населения с учётом возрастной структуры. Стационарное возрастное распределение и его вероятностная интерпретация. Теоретические (аналитические) законы смертности.

Основы демографической статистики и моделирование.

Рассмотрим модель динамики населения с учётом возрастной структуры:

Пусть

l(t,x)-количество моделей в возрасте x в момент времени t

l(0,x)-распределение людей по возрасту в некоторый начальный момент времени – кол-во людей в «нуле»

l(t,0)-скорость рождения – сколько людей рождается в момент времени t

, или

где μ(x) -интенсивность смертей (смертность) - какая-то часть людей возраста x, умерших в момент вр. t,

d=μ*l -абсолютная смертность (количество умерших)

,

Где [ ]-фертильный возраст – интервал фертильности,

-функция рождаемости.

[ +/- ∆] - м одель с включением миграции

 

Точно такой же моделью описывается движение рек (коэф. v - скорость реки): )

x- расстояние, l-количество загрязняющих веществ, -самовосстановление реки.

 

 

Пусть популяция стационарна, не зависит от t, то есть смертность и рождаемость постоянны во времени. В этом случае частные производные превращаются в ноль, кроме производной по возрасту:

- стационарное возрастное распределение

-количество родившихся ()

 

Подставив, получим – демографический потенциал.

Если соблюдать равенство, то распределение стационарно, сокращается, и сравниваем:

если , то популяция не будет стационарной,

если же , то популяция стационарна.

 

Если бы интенсивность смерти и рождаемости не зависели от t, то получаем зависимость от возраста (выше – lx=… - стац.возраст.распред.) - такая модель лежит в основе актуарных расчётов, но рассматривается не всё население, а когорта. Рассм, как меняется во времени их численность:

 

- некоторое количество людей, которые родились в один год

-умершие до года (детская смертность) – 10% - вызывает скачок l(x)

-момент рождения человек – начало координат

-постепенно умирают

-к годам x=100 – обозначается w - никого не остаётся

 

100 x

Кривая называется кривой дожития, означает, какая часть людей доживает до возраста x. Чтобы построить функцию, необходимо иметь статистику по когорте. Функция строится в табличном виде, данные статистики вносятся в таблицу выживания (или таблицу смертности).

|: lо Þ , это получим, решая дифференциальное уравнение

В результате , s(x) –это доля живущих, выживших (сл-но, вероятность).

Теоретические законы смертности – нбх знать вид функции интенсивности смерти, чтобы определить вероятностные хар-ристики стац.возраст.распределения.

1) По аналогии с популяциями животных

, тогда

2) Закон де Муавра (1729)

, где w-некоторый предельный возраст

3) З-н Гомперца (1825)

, a, B-некоторые коэффициенты, раскроем s: =>

 

s(x)=exp{ }

Зависимость объясняет, что поскольку d= m должна иметь максимум, этот максимум смертей попадает на определённый возраст жизни. В этом возрасте вероятность смерти выше по сравнению с остальными.

, где максимум берется по функции f=ms=-ds/dx

 

 

(это были основные, дополнительные дальше)

4) Модель Мэйкхема

- добавляется к предыдущей модели коэф. A-учитывает некоторый фон, связанный с эпидемиями, бедствиями, различными катастрофами

 

5)Закон Вейбула

,

s(x)=exp{ }

 

6) Распределение Перкса

-является вогнутой и хуже описывает ситуацию (остальные были вогнутые)

(функция s(x) довольно громоздкая)

 

Вероятностная интерпретация стационарного распределения

Введём случайную величину X – продолжительность жизни при рождаемости. Тогда P(X>x)=s(x), F(x)=P(X≤x)=1-s(x)

s(x)

P( >x)

 

 

x

Найдём вероятность умереть на интервале

 

Пусть t малая величина, тогда:

t

-мгновенная смерть/интенсивность смертей

S=1-F

S`=-fÞm(x)= – показывает риск умереть в возрасте х – функция риска.

 

 

Основные вероятностные характеристики, используемые в страховании жизни (безусловные и условные вероятности дожития, интенсивность смертности, средняя продолжительность жизни при рождении, средняя остаточная продолжительность жизни). Таблицы выживаемости (смертности). Отличие средних при использовании непрерывной и дискретной моделей.

Введём случайную величину X – продолжительность жизни при рождаемости. Тогда P(X>x)=s(x), F(x)=P(X≤x)=1-s(x)

s(x)

P( >x)

 

 

x

 

Введём случайную величину L(x) – количество людей доживших до возраста x, причём lx – конкретная фактическая известная величина, поэтому значение приближённое:

l(x)=EL(x) ~~ , т.е. l(x)=

I-индикатор события дожития A=( >x) (дожил-1, не дожил-0), поэтому её мат.ож. равно вер-ти А.

Обознач. -если величина дискретная, l(x) - если возраст считать непрерывной величиной

На практике используется не функция, а таблица (дискретная вел-на кол-ва людей):

x
…

Начальная графа – стартовый размер когорты -корень таблицы, который показывает её точность (1000, 10000, …), и чем больше, тем точнее.

Количество умерших за год в когорте: dx=

Вероятность того что человек дожил до возраста x, но вероятность мереть в следующем году:

Это вероятность условная - при условии, что человек дожил

Вероятность прожить ещё год:

Количество смертей (умерших), человек дожил до возраста x, но умер в ближайшие n лет: ndx=

Соответственно условные вероятности

n =ndx/ ; n

 

 

Найдём вероятность умереть на интервале [x, x+t]:

P(x<X≤x+t|X>x)=

 

 

Пусть t малая величина, тогда:

t

-мгновенная смерть/интенсивность смертей

S=1-F

S`=-fÞm(x)= – показывает риск умереть в возрасте х

В теории вероятности такая функция называется функцией риска

 

 

Среднее время жизни.

1) Среднее время жизни при рождении.

2) Остаточная продолжит.жизни – случ.величина, её мат.ож – средняя остаточная продолжит.жизни

Найдем распределение :

вероятность умереть в интервале(x;x+t)

T(x)=X-x (?)

t – сколько осталось прожить

- приближенно

Рассмотрим вероятность того, что человек, доживший до возрастра x проживет еще m лет, но умрет в последующий n лет:

- отложенная смерность