Случай ненулевых граничных условий.

Уравнение колебания струны и уравнение колебания стержня суть одномерные волновые уравнения с разным физическим смыслом. Изложенный выше метод разделения переменных для однородных уравнений требовал, чтобы граничные условия были нулевыми. В случае ненулевых граничных условий

(75)

искомое решение u (x, t) имеет смысл искать в виде суммы двух слагаемых u ₁ и u _2, выбрав в качестве u ₁

Тогда вторую часть u ₂(x,t) можно искать как решение уравнения с нулевыми граничными условиями:

(76)

При этом сумма двух частей будет удовлетворять уравнению с неоднородными граничными условиями.

 

Телеграфное уравнение.

Как известно, при прохождении электрического тока по проводнику, вокруг него образуется электромагнитное поле, которое в свою очередь вызывает изменения, как силы тока, так и величины напряжения. В результате в проводнике возникает определенный колебательный процесс, который мы постараемся описать уравнениями в частных производных.

Совместим ось x с осью проводника длиной l, поместив начало координат в один из его концов. Сила тока I и напряжение v в каждой точке проводника будут функциями координаты x и времени t. Выведем уравнения с частными производными, связывающие эти величины между собой. Будем предполагать, что емкость С, сопротивление R, самоиндукция L и утечка G, которая имеет место за счет несовершенства изоляции, распределены вдоль провода непрерывно, равномерно и рассчитаны на единицу длины проводника.

Применяя закон Ома к участку проводника, заключенного между двумя произвольными сечениями с координатами x ₁ и x ₂, мы получим

(77)

С другой стороны

(78)

Вычитая из первого равенства второе, получим

Откуда в силу произвольности интервала интегрирования следует, что

(79)

Количество электричества, протекающего через рассматриваемый участок проводника за единицу времени равно

С другой стороны оно равно сумме электричества, необходимого для зарядки этого участка, и электричества, которое теряется вследствие несовершенства изоляции, т.е.

В результате сравнения этих выражений получим

,

откуда

(80)

Таким образом, линейные уравнения в частных производных первого порядка (79) и (80) описывают свободные электрические колебания в проводнике.

Если мы теперь продифференцируем уравнение (79) по x, а уравнение (80) по t, а затем исключим из полученных уравнений смешанную производную , то получим следующее линейное дифференциальное уравнение второго порядка относительно v:

(81)

Аналогичным образом получим дифференциальное уравнение относительно i:

(82)

 

В результате получим, что напряжение v и сила тока i удовлетворяют одному и тому же дифференциальному уравнению:

, (83)

где .

Это уравнение называют телеграфным уравнением. Нетрудно заметить, что при оно по форме совпадает с уравнением колебания струны (или стержня) с учетом процесса затухания.