Поведение потенциала простого слоя при переходе через границу

где γ - угол, а также, что

,

получим

,

при условии, что δ настолько мало, что cos γ >1/2.

Введем теперь в плоскости x, y полярную систему координат (ρ, φ) с началом в точке М'. Тогда последний интеграл легко вычисляется

и мы, выбирая δ=ε/ 8 πA, можем окончательно записать

,

если МР ₀ < δ. Следовательно, интеграл V (M) равномерно сходится в любой точке и является непрерывной функцией в этой точке.

Обратимся теперь к изучению поведения нормальных производных потенциала простого слоя при переходе через поверхность. Покажем, что они имеют на S, разрыв такого же типа, как и потенциал двойного слоя.

Внешняя и внутренняя нормальные производные функции V (M), т.е. и , определяются следующим образом. Пусть P ₀ – некоторая точка S. Из точки P ₀ проведем ось z, которую можно направить либо вдоль внешней, либо вдоль внутренней нормали.

Рассмотрим производную в некоторой точке М на оси z. Обозначим и пределы производной при стремлении точки М к точке P ₀ с внутренней или с наружной стороны поверхности S. Если ось z направлена по внешней нормали, то это значения называются предельными значениями производной по внешней нормали, если же ось z направлена по внутренней нормали, то это значения называются предельными значениями производной по внутренней нормали в точке P ₀.

Исследуем разрывы внутренней нормальной производной потенциала простого слоя на S. Производная в точке М оси z направленной по внутренней нормали, равна

(19)

где ψ – угол между осью z и вектором . Проведем из точки Р (Рис. 35) внутреннюю нормаль PQ и прямую PN, параллельную оси z (т.е. нормали в точке P ₀), и обозначим через θ угол NPQ, равный углу между нормалями в точках Р и P ₀. Выражение для потенциала двойного слоя W (M)содержит множитель , где . Так как угол MPN равен , то можно показать, что

где Ω двухгранный угол с ребром PQ. Отсюда следует, что

(20)

где W ₁(M) – потенциал двойного слоя с плотностью , имеющий разрыв на поверхности S. Очевидно, что интеграл I (M) является функцией, непрерывной в точке Р ₀, так как I (M) сходится равномерно в этой точке. Тогда возвращаясь к формуле (20) можем написать

(21)

Обозначим теперь

где ψ ₀ – угол между осью z и вектором Р ₀ Р. Замечая далее, что , находим

(22)

так как по условию ось z направлена по внутренней нормали. Если ось z направить по внешней нормали, то знак изменится, и мы получим

(23)

Для случая двух переменных имеют место аналогичные формулы с заменой 2 π на π.