Стационарные процессы диффузии газа при наличии распада и при цепных реакциях.

В §5 главы V были приведены уравнения диффузии при наличии распада молекул диффундирующего газа и при наличии цепных реакций:

, (11)

где u (x, y, z) – концентрация газа в единице объема

При записи этого уравнения предполагалось, что скорость реакций пропорциональна концентрации. Если эти процессы носят стационарный характер, то производная по времени будет рана нулю и вместо уравнения (11) мы получим уравнение Гельмгольца в виде

, (12)

или

, где .

Диффузия в движущейся среде

Если рассмотреть диффузию газа не в неподвижной среде, как это было в упомянутом уже §5 главы V, а в заданном стационарном потоке, скорость которого в точке M (x, y, z) вектором v, то количество газа, протекающего через элементарную площадку dσ в токе М будет равно

,

где D – коэффициент диффузии, n – нормаль к площадке dσ.

Поскольку внутри некоторого объема Т, ограниченного поверхностью S, в рассматриваемом случае источники газа отсутствуют, то суммарный поток через поверхность S равен нулю

Воспользовавшись формулой Гаусса-Остроградского, получим

Отсюда в силу произвольности объема Т вытекает уравнение диффузии в заданном стационарном потоке газа

(13)

К такому же уравнению мы придем и в задаче о распространении тепла в стационарно движущейся среде.

Если коэффициент диффузии D и скорость потока v являются постоянными величинами, то вместо уравнения (13) мы получим уравнение

, (14)

которое называют также уравнением газовой атаки. В одномерном случае, когда постоянная скорость основного потока направлена по оси x и равна v ₀,оно будет иметь вид

Если положить

и затем выбрать , то для функции w мы получим уравнение Гельмгольца в виде

,

где .

Внутренняя краевая задача

Можно показать, что всякое уравнение эллиптического типа с постоянными коэффициентами можно привести к уравнению вида

(15)

В предыдущем параграфе мы выяснили, что свойства решения этого уравнения существенно зависят от знака коэффициента с. При диффузионной интерпретации уравнения это понятно с физической точки зрения.

При справедлив принцип максимального значения, который заключается в следующем:

Решение уравнения (15) внутри области задания Т не может достигать во внутренних точках области своего максимального положительного и минимального отрицательного значений.

Действительно, пусть в некоторой внутренней точке М ₀области Т, функция u (M ₀) достигает своего максимального положительного значения, тогда в этой точке

,

но тогда и , а значит уравнение (15) не может быть выполненным, поскольку левая часть уравнения будет строго меньше нуля. Изложенное рассуждение применимо и к случаю минимального отрицательного значения.

Исходя из принципа максимального значения, можно легко доказать единственность решения первой внутренней краевой задачи, которая формулируется следующим образом:

Существует только одно решение уравнения (15), определенное и непрерывное в области Т вместе с её границей S и принимающее на этой границе заданное значение

(16)

В самом деле, допустив существования двух разных решений u ₁ и u ₂, удовлетворяющих условию (16), рассмотрим функцию , которая также будет удовлетворять уравнению (15), а на границе будет равна нулю. Тога в силу принципа максимального значения это нулевое значение функции u будет максимальным (положительным) или минимальным (отрицательным) значением, из чего следует, что оно должно быть нулевым во всей области, т.е. функция u ₁ должна быть равна функции u ₂. Таким образом, решение первой внутренней краевой задачи будет единственным (при ).

При единственность может и не иметь места. Вопрос о множественности или единственности решения первой краевой задачи зависит от того, совпадает ли значение с с одним из собственных значений λ _n однородной краевой задачи.

,