Разрыв потенциала двойного слоя

 

Рассмотрим сначала случай двух независимых переменных. Согласно определению потенциал двойного слоя в этом случае выражается интегралом

 

Рассмотрим некоторый элемент дуги dl, концами которого являются точки Р и Р ₁. проведем через точку Р дугу окружности радиуса МР с центром в точке М до пересечения с отрезком МР ₁ в точке Q (Рис. 34), тогда с точностью до бесконечно малых высшего порядка можно написать

и ,

где , , dω – угол, под которым видна дуга dl из точки М. Знак dω совпадает со знаком сos φ. Если , т.е. , то из точки М видна «внутренняя» сторона кривой С; при () из точки М видна «наружная» сторона этой кривой. Отсюда следует, что угол видимости некоторой дуги Р ₁ Р ₂ равен углу Р ₁ МР ₂, который описывает луч МР, когда точка Р пробегает дугу Р ₁ Р ₂.

Рассмотрим потенциал двойного слоя W ⁰ на замкнутой кривой C с постоянной плотностью . Луч МР описывает угол

когда точка Р пробегает всю кривую С. Отсюда для потенциала W ⁰ пролучаем

Таким образом, потенциал двойного слоя с постоянной плотностью является кусочно-постоянной функцией, причем

,

, (14)

где W _в⁰, W _с⁰, W _н⁰ – значение потенциала внутри, на и вне кривой С.

Проводя аналогичные рассуждения для случая трех независимых переменных, мы придем к формуле

Характеризующей кусочное постоянство функции W ⁰, а также к формулам

(15)

где W _в⁰ и W _н⁰ – значения потенциала W ⁰ внутри и снаружи поверхности S, а W _S⁰ – значение W ⁰ на поверхности S.

Рассмотрим теперь потенциал двойного слоя с переменной плотностью и докажем, что в точках непрерывности плотности имеют место формулы, аналогичные формулам (14) и (15).

Пусть Р ₀ – точка поверхности S, в которой функция ν (Р) непрерывна. Рассмотрим функцию

Докажем, что функция I непрерывна в точке Р ₀. Для этого достаточно доказать равномерную сходимость интеграла I (М) в точке Р ₀. Зададим некоторое . Из непрерывности функции ν (Р) в точке Р ₀ следует, что для любого наперед заданного числа можно найти S ₁ – окрестность точки Р ₀ на поверхности S – такую, что

,

если . Представим интеграл I в виде суммы

,

где интеграл I ₁ берется по поверхности S ₁, а I ₂ – по поверхности S ₂ = S – S ₁. Из определения S ₁ следует, что

где В_S – постоянная, определяемая условием

(16)

при всевозможных положениях точки М, не зависящих от выбора поверхности S ₁.

Выбирая , мы убеждаемся в том, что для любого можно найти такое S ₁, содержащее Р ₀, что

при любом положении точки М. Отсюда и следует равномерная сходимость интеграла I (М) в точке Р ₀, а также его непрерывность в этой точке.

Если W _в⁰ и W _н⁰ – пределы потенциала W (M) при с внутренней и наружной сторон поверхности S, то

и аналогично

Таким образом, справедливость формулы (15) установлена.

Проведенное выше доказательство справедливо для поверхностей, удовлетворяющих условию ограниченности (16). Для выпуклой поверхности, которую всякий луч из точки М пересекает не более двух раз, ; для поверхностей, состоящих из конечного числа выпуклых частей, В _S также ограничено. Таким образом, наше доказательство относится к весьма широкому классу поверхностей.

Все проведенные выше рассуждения остаются в силе и для функций двух независимых переменных. В этом случае формулы (14) принимают вид

(17)