Уравнения малых поперечных колебаний мембраны.

Теперь мы покажем, что малые поперечные колебания мембраны описываются двумерным волновым уравнением (1). Мембраной называют тонкую пленку, которая находится в состоянии натяжения и не оказывает сопротивление изгибу и сдвигу. Покажем, что малые колебания мембраны описываются двумерным волновым уравнением.

Пусть бесконечная мембрана в положении равновесия расположена в плоскости (x,y) и находится под действием равномерного натяжения T, т.е. силы, приходящейся на единицу длины произвольного контура и направленной перпендикулярно этому контуру в каждой его точке. Будем также предполагать, что на мембрану параллельно оси 0u действует внешняя сила p (x, y, t), рассчитанная на единицу площади.

Будем рассматривать только поперечные смещения мембраны, при которых каждая её точка движется перпендикулярно плоскости (x,y). Смещения u каждой точки мембраны будут функцией координат этой точки x,y и времени t. Будем предполагать, что они настолько малы, что квадратами производных u_x и u_y можно пренебречь.

n

Выделим произвольный участок мембраны σ, ограниченный кривой l (Рис.3.1). В результате смещения этот участок деформируется и перейдет в некоторый участок σ ', ограниченный контуром l '. На этот участок в каждой его точке, в том числе и по контуру l ' будет действовать равномерно распределенное натяжение Т, лежащее в плоскости касательной к поверхности мембраны. Сила этого натяжения равна Тdl ', где dl ' – элемент дуги кривой l '. Проекция силы Т dl ' на ось 0u будет равна абсолютной величине Тdl ', умноженной на косинус угла вектора Т с осью 0u, который в силу нашего предположения о малости величины смещения будет равен , где n – внешняя нормаль к контуру l.

В результате равнодействующая сил, приложенных к контуру l ' будет равна

Поскольку при малых перемещениях мембраны можно считать , то мы можем в записанном интеграле путь интегрирования dl 'заменить на dl. Тогда применяя формулу Грина, получим

(46)

Суммарная внешняя сила, действующая на участок σ ', будет равна

(47)

По второму закону Ньютона сумма сил (1) и (2) должна равняться интегралу

(48)

В результате получим

,

Откуда в силу произвольности участка σ следует, что

(49)

Это и есть уравнение малых поперечных колебаний мембраны. В случае, если мембрана однородная, полученное уравнение после некоторых переобозначений можно переписать следующим образом:

, (50)

где

и

В более компактной форме уравнение (50) можно записать также в следующем виде:

(51)

В качестве начальных условий для уравнения (50) или (51) задаются смещение и скорость любой её точки в начальный момент времени

(52)

Граничные условия

В случае ограниченной мембраны наряду с начальными условиями (52) для уравнения (49) формулируются и граничные условия трех видов. В отличие от струны или стержня, границами являлись два противоположных конца, у мембраны границей является ограничивающий её плоский в исходном положении контур l.

В граничном условии первого рода задаются перемещения точек границы мембраны в любой момент времени, а именно

(53)

Если граница мембраны покоится, т.е. имеет место закрепление граница мембраны, то граничное условие (52) становится однородным

(54))

В граничном условии второго рода задаётся нормальная производная от перемещения границы мембраны в любой момент времени, а именно

(55)

Как мы помним, производная по нормали с точностью до постоянного множителя T соответствует напряжению, поэтому говорят, что условие (55) задает напряжение на границе мембраны. По третьему закону Ньютона это напряжение равно вертикальной составляющей внешней силы, приходящейся на единицу длины граничного контура. В случае, если на границу не действует никаких сил, условие (55) становится однородным.

Граничное условие третьего рода задает в любой момент времени сумму перемещения границы и напряжения с некоторым постоянным множителем h:

(56)

Если γ (t) равно нулю, условие (56) становится однородным и в этом случае имеет простую физическую интерпретацию. Для этого нужно представить, что граница мембраны скреплена упругим образом с плоскостью (x, y), как это показано на Рис.3.2.

 

 

Тогда вертикальная составляющая напряжения на границе мембраны будет равна внешней упругой силе, приходящейся на единицу длины граничного контура, которая в каждой точке по закону Гука пропорциональна смещению в этой точке и направлена в сторону противоположную смещению (как и проекция T на ось u), т.е. равна . Следовательно, можно записать, что

или

, (57)

где .

Теперь можно представить, что основание упругого закрепления границы перемещается параллельно оси u по закону ξ (t). Тогда сила, развиваемая упругим закреплением, будет равна – k [ u – ξ (t)], и мы можем записать

Разделив все члены этого равенства на k и обозначив через γ (t), мы и получим формулу (56).