Коэффициент размножения бесконечной среды

Коэффициент размножения бесконечной среды - наиболее важная характеристика активной зоны реактора. Уже по величине можно судить о целесообразности продолжения расчета того или иного варианта (в частности, нужно отбросить те варианты, в которых ). Коэффициент размножения бесконечной, активной среды без учета размножения нейтронов в промежуточной области энергий определяется как произведение четырех сомножителей:

, (44)

где - коэффициент теплового использования или доля тепловых нейтронов (по отношению ко всем поглощающимся тепловым нейтронам), которая захватывается в ядерном горючем U ²³⁵ или Pu ²³⁹; v_a - среднее число вторичных быстрых нейтронов, рождающихся в результате захвата одного нейтрона в U ²³⁵ или Рu ²³⁹; - коэффициент, учитывающий добавочное умножение количества быстрых нейтронов в результате деления ядер U ²³⁸ (или Тh ²³²) под действием быстрых нейтронов; - вероятность избежать захвата при замедлении, или, иначе, вероятность избежать резонансного захвата.

Вычисление . Величина , согласно данному выше определению и с учетом гетерогенности, находится по формуле

(45)

или

(46)

В гомогенной или гомогенизированной среде

. (47)

Если , выражения (46) и (47) тождественны. Сечения поглощения вычисляются так, как указано в § 6, 7.

Вычисление v_a. Величина v_a, с одной стороны, определяется свойствами ядерного горючего, с другой - спектром нейтронов, вызывающих деление (в нашем случае тепловых). В среде, содержащей смесь U ²³⁵ и Pu ²³⁹ или еще каких-либо делящихся изотопов, величина v_a должна усредняться с весом концентрации изотопов и их сечений. Например, для смеси U ²³⁵ и Ри ²³⁹

(48)

где - среднее число вторичных быстрых нейтронов, рождающихся при делении одного ядра U ²³⁵ или Ри ²³⁹. Это число - одна из характеристик делящегося материала (приводится в справочниках [6], стр.26; [7], стр.30*). В области низких энергий v_f от энергии нейтронов практически не зависит. В формуле (48) сечения и усреднены по спектру Максвелла, следовательно, v_a зависит от температуры нейтронного газа и от . Если в составе активной зоны имеется только один делящийся изотоп, то для него, очевидно, .

Вычисление . Процесс деления U ²³⁸, учитываемый коэффициентом , происходит только в области энергий . Строго говоря, порог деления выражен не очень резко, поэтому значение в некоторой степени условно. Можно считать, что для U ²³⁸ =1,4 Мэв. При больших энергиях длина свободного пробега нейтронов довольно велика, и если в сравнении с ней шаг решетки мал, то по отношению к быстрым нейтронам среду можно считать гомогенной. Для гомогенной среды

(49)

Здесь - сечение деления U ²³⁸, усредненное в области энергий Е >1,4 Мэв; - усредненное в той же области энергий сечение такого рассеяния, которое приводит к замедлению нейтронов в подпороговую область. Эту величину называют сечением увода нейтронов из надпороговой области.

Сечения должны усредняться с весом спектра нейтронов в надпороговой области. Приближенно можно считать, что таким спектром будет спектр нейтронов деления:

, (50)

где Е - энергия нейтронов, Мэв. Согласно сказанному, усредненные микроскопические сечения и должны вычисляться по формулам:

(51)

(52)

где - сечение упругого рассеяния; - сечение неупругого рассеяния; - вероятность того, что нейтрон, упруго рассеянный при энергии Е, получит после рассеяния энергию (вероятность увода нейтрона из надпороговой области); - вероятность увода нейтрона из надпороговой области при неупругом рассеянии. Для простоты можно считать, что =1, так как неупругое рассеяние приводит к очень сильному сбросу энергии. Для упругого рассеяния можно использовать формулы:

(53)

, А - масса рассеивающего ядра.

Лучше, если величины и будут найдены на основе экспериментальных данных, поскольку при больших энергиях выражения (53), строго говоря, несправедливы. В качестве усредненных сечений можно применять также сечения первой группы девятигрупповой системы констант, имеющейся в справочнике [6] на стр.199. Сечения некоторых наиболее важных элементов приведены в табл. 1. Макроскопическое сечение среды вычисляют по общему правилу (18).

ТАБЛИЦА 1

Элемент	, барн	, барн	, барн	, барн
U238 U235 Pu239 Th232 U232 O H H2O C Al Be Na Li K Pb Bi Fe Zr Ni Mo	0,56 1,32 1,98 0,13 2,0 – – – – – – – – – – – – – – –	0,05 0,05 0,02 0,04 0,02 0,015 – – – – 0,05 0,001 0,02 0,001 0,001 0,002 0,003 0,005 0,002 0,1	2,10 1,55 1,00 2,54 0,98 0,20 0,66* 1,52* 0,1* 0,4* 0,38 0,53 0,29 0,42 0,75 0,67 0,70 0,95 0,74 1,44	4,3 4,3 4,4 4,3 4,3 1,3 0,85* 3,0* 1,7* 3,0* 1,5 2,0 1,4 2,3 4,0 4,0 2,2 3,0 2,3 3,0	2,90 2,80 3,23 2,35 2,90 – – – – – – – – – – – – – – –

* Вычислено по формулам (52), (53). Остальные данные взяты из справочника [6].

Для гетерогенных сред - решеток с большим шагом (например, решетка графитового реактора) вместо сечений и следует подставлять в формулу (49) вероятности соответствующих процессов: вероятность поглощения нейтрона с делением в U ²³⁸; - вероятность увода нейтрона из надпороговой области. С точностью до нормирующего множителя, который в формуле (49) не играет роли, эти вероятности можно принять равными

(54)

Здесь Р - вероятность того, что нейтрон, рожденный в блоке, сделает первое соударение в этом же блоке; и - сечения деления, увода и транспортное соответственно, вычисленные для блока по формуле типа (39); и - сечения деления и увода, вычисленные для гомогенизированной ячейки по формуле (18).

Таким образом, для гетерогенной среды

Эта формула в случае топких блоков переходит в формулу (49). Если шаг решетки мал, то переход верен, если же при тонких блоках шаг велик, то . Величину Р для цилиндрических блоков можно найти по графику (рис. 4). Во всем этом расчете транспортное сечение (тоже усредненное по надпороговой части спектра) используется в качестве полного сечения. Таким способом приближенно учитывается анизотропия рассеяния, которая в области больших энергий довольно велика.

Для сплошных цилиндрических блоков из естественного или малообогащенного урана при условии, что шаг решетки велик (графитовые реакторы), приближенно справедлива следующая простая формула:

где - радиус блока, см.

Вывод формул для (иногда используют обозначение ) имеется в литературе ([5], стр.652, [8], стр.309, [12], стр.88).

Рис.4. Вероятность первого столкновения в
цилиндрических (трубчатых) блоках:

R ₀ - внутренний радиус блока; - наружный радиус блока;
- транспортное сечение материала блока.

Следует заметить, что в формулах (54) сделана попытка учесть простейшим способом взаимодействие между блоками, в то время как в литературе обычно рассматриваются изолированные друг от друга блоки (в штреках с большим шагом).

В приведенных выражениях (49) и (55) не учтен радиационный захват нейтронов в U ²³⁸, который, во-первых, мал, а во-вторых, должен учитываться коэффициентом .

В тесных уран-водных решетках коэффициент близок к коэффициенту (гомогенной смеси). Результаты расчета для уран-водных смесей, приведенные в работе [13] (стр.192), хорошо описываются формулой

(56)

где и - объемы соответственно U ²³⁸ и Н ₂ О в 1 см³ смеси, приведенные к нормальной плотности. В той же работе дана интерполяционная формула для расчета в гетерогенных уран-водных решетках с толстыми блоками, которая здесь не приводится, так как в энергетических водяных реакторах блоки всегда достаточно тонки и .

Вычисление . Коэффициент - вероятность избежать поглощения нейтронов в процессе замедления. Согласно установившейся терминологии, коэффициентом учитывается поглощение нейтронов только в U ²³⁸. Поглощение замедляющихся нейтронов в других материалах, в том числе и в U ²³⁵, в тепловых реакторах не очень существенно, поэтому ради простоты учитываться не будет. Поправки к формулам, обусловленные поглощением замедляющихся нейтронов в делящихся веществах, описаны в работе [12] (стр. 69).

Коэффициент для гомогенных сред рассчитывают по формуле

, (57)

в которой - эффективный резонансный интеграл U ²³⁸; - замедляющая способность среды при энергии Е >6 эв (в области от 1 до 10¸100 кэв величина практически постоянна).

Физическая величина, называемая эффективным резонансным интегралом, теоретически выражается следующим образом:

(58)

Здесь - сечение рассеяния среды, в которой находится уран; - область, в которой; наряду с замедлением происходит поглощение нейтронов в U ²³⁸. В качестве можно принять среднюю энергию рождающихся нейтронов, равную 2 Мэв, а в качестве - . При экспериментальном измерении эффективных интегралов величиной служит порог кадмиевого поглощения - 0,4 эв. Пользуясь экспериментальными данными, необходимо обращать на это внимание.

Сечение поглощения U ²³⁸ (так же, как и многих других материалов) при низких энергиях подчиняется закону В этой же области, как правило, . Учитывая это, можно написать для области от 0,4 эв до аналитическое выражение интеграла (58)

(59)

Интеграл по всей области замедления можно всегда представить в виде суммы

(60)

Этим и следует пользоваться, если величина при эв известна из эксперимента.

В области средних энергий, где сечение поглощения U ²³⁸ имеет ярко выраженную резонансную структуру, широко используется формула Брейта-Вигнера, которую для изолированного резонансного пика можно приближенно записать в виде

Здесь - резонансная энергия, т.е. положение максимума резонансного пика; - максимальное значение полного сечения в резонансном пике

- радиационная ширина резонансного пика; - полная ширина резонансного пика.

Эффективный резонансный интеграл от одного резонансного пика, найденный с использованием формулы Брейта-Вигнера без части , выражается так:

(61)

Формула (61) выведена в предположении, что в окрестности пика , а это практически всегда выполняется с хорошей точностью. В нее также введена поправка в виде коэффициента , учитывающая допплер-эффект при взаимодействии резонансных нейтронов с движущимися ядрами нагретого урана. Коэффициент - функция двух переменных: и ; - параметр, характеризующий степень уширения резонансного пика за счет допплер-эффекта,

(62)

где - температура урана, °К; k - постоянная Больцмана.

Параметры разрешенных резонансных уровней U ²³⁸ (в области низких энергий) имеются в справочниках [6] (стр.56), [7] (стр.91). Там же можно найти более подробные сведения о формуле Брейта-Вигнера. Коэффициент определяется по графикам (см. работы [6], стр.253; [7], стр.440; [14], стр.426).

Полный эффективный интеграл можно представить в виде суммы

(63)

где , в свою очередь, сумма интегралов вида (61) по всем резонансным уровням.

(64)

- интеграл от сечения вида :

Следует отметить, что применение формул (63) - (65) в практических расчетах весьма затруднительно по следующим причинам. Во-первых, неизвестны параметры всех резонансных уровней. Во-вторых, формула Брейта-Вигнера в том виде, в каком она была использована, приближенна и справедлива только для узких далеко отстоящих друг от друга резонансных пиков. В действительности же не все пики удовлетворяют этим условиям, а при больших энергиях они настолько сильно перекрывают друг друга, что резонансный характер сечения поглощения фактически утрачивается. В этой области эффективный интеграл обычно приходится оценивать на основе эмпирических или полуэмпирических данных. В-третьих, теоретическая формула (58) тоже приближенна. Можно было бы указать и на другие источники ошибок. Если имеются надежные экспериментальные данные по эффективным резонансным интегралам, то их следует предпочитать расчетным.

При очень малой концентрации поглотителя в рассеивающей среде эффективный интеграл принимает свое максимальное значение и называется истинным. Малость концентрации характеризуется тем, что даже для самого высокого резонансного пика . При этом условии зависимость от температуры исчезает, т. е. для всех пиков . Не будет также зависимости и от свойств замедляющей среды, в которой находится уран. Таким образом, истинный резонансный интеграл U ²³⁸ - это вполне определенная физическая величина. Точно так же получают истинные резонансные интегралы и для других поглощающих изотопов. Эти величины можно найти в работах [6] (стр.172), [7] (стр.322).

Эффективный резонансный интеграл U ²³⁸ в гомогенной среде можно вычислять по эмпирической формуле

(66)

где - сечение рассеяния, приходящееся па одно ядро U ²³⁸, барн. Эта формула, как указано в работах [5] (стр.292) и [8] (стр.288), справедлива в интервале значений величины от 10 (чистый уран) до 1000 барн (уран, разбавленный каким-либо рассеивающим веществом) и дает интеграл до порога кадмиевого поглощения при комнатной температуре.

В гетерогенной среде общая теоретическая формула для вычисления аналогична выражению (57):

(67)

где - объем U ²³⁸, приходящийся на 1 см длины ячейки; объем ячейки на 1 см длины. Однако вычислять интеграл для гетерогенной среды несравненно труднее, нежели для гомогенной. Существует несколько теорий резонансного захвата в гетерогенных средах. В отечественной практике используется теория Гуревича-Померанчука, впоследствии развитая и обобщенная другими авторами. Описание различных теорий резонансного поглощения имеется в книгах [14] (стр.418), [15] (стр.217-256), краткое изложение результатов этих теорий - в справочниках [6], (стр.252-260), [7] (стр.439-450).

Для решетки, образованной урановыми стержнями, размещенными в замедляющей среде достаточно далеко друг от друга, теория Гуревича-Померанчука дает зависимость вида (см. [16], стр.220)

(68)

Здесь - усредненный по всем направлениям корень квадратный из всевозможных хорд блока; - поверхность блока, облучаемая резонансными нейтронами (как и ранее, все поверхности и объемы рассчитываются на 1 см длины ячейки); - объем блока; - произведение объема на замедляющую способность i -го вещества, входящего в состав среды. Практически достаточно просуммировать только вклады легких веществ, являющихся хорошими замедлителями (графит, вода, бериллий и т. п.).

Коэффициенты А и В теоретически выражаются следующим образом:

(69)

(70)

В выражении (70) интегрируется только нерезонансная (неблокируемая) часть сечения поглощения. Экспериментальные измерения величины (см. [13], стр. 53) показали, что для тонких блоков формула (68) удовлетворительна, если принять

А = 0,532 барн^1/2 и В = 4,9 барн*.

Чаще всего блоки бывают цилиндрическими - сплошными или трубчатыми. Для длинных цилиндров , где

(71)

D - наружный диаметр блока; d - внутренний.

В формуле (71) в качестве принята только внешняя поверхность блока, т.е. предполагается, что все резонансные нейтроны образуются вне блока и падают на него снаружи. Нейтроны, замедляющиеся внутри блока (в теплоносителе), таким образом, не учитываются. В знаменателе формулы (68) учитывается, конечно, замедляющая способность всех веществ независимо от их положения в ячейке. Важно заметить, что при расчете резонансного поглощения блоком называется не вся центральная область ячейки, как при расчете , а только та часть объема, которая заполнена ураном. Металлическое покрытие урана в объем блока не включается. В связи с таким определением может оказаться, что в одной ячейке имеется несколько блоков. Это должно учитываться умножением правой части формулы (68) на число блоков n.

В гетерогенных средах допплер-эффект проявляется в блокируемой части резонансного поглощения. Мы ограничимся экспериментальными данными по этому эффекту, приведенными в работе [13] (стр. 53); теоретическое рассмотрение допплер-эффекта можно найти, например, в статье [18]. С учетом допплер-эффекта полуэмпирическая формула для вычисления имеет вид:

(72)

где п - число блоков в ячейке; - температура урана, °К.

Если в активной зоне содержится вода, то в выражение (72) следует подставлять . Эта величина получена экспериментально и близка к значению при эв.

Формулы (68) и (72) не учитывают взаимную экранировку блоков при тесном их расположении, а также присутствие в блоке наряду с ураном других веществ, хорошо рассеивающих и замедляющих нейтроны (разбавители, легирующие добавки и т.п.). Эффект взаимной экранировки существенно зависит от геометрии, размеров и расположения блоков. Ввиду того, что конструкция тепловыделяющих элементов весьма разнообразна, привести здесь общую и простую методику учета взаимоэкранировки не представляется возможным. В реакторах с тесными решетками, в которых всегда содержится значительное количество конструкционных материалов, обогащение горючего, как правило, довольно велико, и в связи с этим велик захват резонансных нейтронов не только в U ²³⁸, но и в U ²³⁵ и прочих материалах.