Компенсирующая способность центрального стержня

Будем считать, что стержень искажает только радиальное распределение нейтронного потока, т.е. функции и (см. § 17). В реакторе со стержнем в центре в двухгрупповом приближении

(158)

Здесь опущены члены, описывающие возмущение потоков вблизи границы с боковым отражателем. Предполагается, что радиус активной зоны реактора достаточно велик, и возмущения от отражателя не достигают поверхности стержня, так же как и возмущения от стержня не достигают наружной границы активной зоны. При таком условии опущенные члены для последующих преобразований не нужны. - функции Бесселя второго рода действительного аргумента [имеются в таблицах вместе с функциями первого рода ]; и - параметры реактора со стержнем, соответствующие возмущенному коэффициенту размножения .

На поверхности стержня задаются граничные условия

(159)

где - радиус стержня; - групповые коэффициенты диффузии; -коэффициенты, характеризующие «черноту» стержня по отношению к нейтронам первой и второй групп соответственно (эти величины будут обсуждены в следующем параграфе).

Иногда используется так называемый эффективный радиус стержня, определяемый как радиус, на котором экстраполированный поток нейтронов обращается в нуль [12] (стр. 196, 311-312). Это требование с большой точностью эквивалентно условиям (159), что следует из определения эффективного радиуса

и свойств функций, описывающих распределение нейтронов вблизи стержня. Очевидно, для разных групп будет различным.

На границе активной зоны и отражателя, т,е. при логарифмические производные функций и предполагаются неизменными, причем члены и считаются равными нулю. Следовательно, должно выполняться соотношение

(160)

Задача заключается в определении возмущения геометрического параметра , которое затем легко переводится в величину . Поскольку

. Разложив числитель и знаменатель правой части уравнения (160) по в окрестности точки и сохранив только два члена разложения ввиду предполагаемой малости получим

(161)

где функции Бесселя берутся при аргументе - радиальный геометрический параметр невозмущенного реактора.

Для функций Бесселя независимо от величины х справедливо соотношение

Кроме того, в знаменателе выражения (161) можно пренебречь членом . Действительно, для невозмущенного реактора . Следовательно, для реактора со стержнем этот коэффициент должен быть небольшим. Можно убедиться также в том, что при . В результате формула для упрощается:

(162)

где .

Дифференцируя соотношение (81) по параметру можно связать величину , или, иначе, , равную , с величиной , имея в виду, что в нашем приближении равна дифференциалу k с обратным знаком:

В реакторах практически всегда , и, кроме того, . Учитывая это и используя выражение (162), напишем расчетную формулу в окончательном виде:

(163)

Коэффициент С, пропорциональный , определяется из совместного решения уравнений (159). При этом можно полагать и . Величины и вычисляют по формулам (88), (89), (100). Ввиду малости аргумента вблизи стержня (поскольку всегда ) целесообразно использовать приближенные выражения:

В результате формула для С приобретает вид:

(164)

где

(165)

Может оказаться, что аргумент тоже мал, несмотря на то, что ; тогда

Интересно заметить, что двухгрупповой метод используется здесь фактически только для вычисления С, в то время как формула (163) остается такой же при любом числе групп (если, конечно, остаются в силе все прочие предположения, не связанные с применением группового метода).