Учет влияния неточностей изготовления и изменения температуры

Если конструкция или основание, на котором она долж­на быть закреплена, изготовлены с погрешностями, то при сборке может потребоваться деформировать конструкцию для компенсации допущенной погрешности. Это вызывает появление внутренних усилий и напряжений.

При изменении температуры конструкция стремится из­менить свои размеры на величину

,

где а — коэффициент температурного расширения (для стали ); L— длина элемента конструк­ции; — разность конечной и начальной температур.

Если избыточные связи препятствуют развитию темпе­ратурных деформаций, то в конструкции возникают внут­ренние усилия.

Метод сил позволяет учесть влияние неточностей изго­товления и температурные деформации. Для этого в сис­тему канонических уравнений добавляются соответству­ющие перемещения, характеризующие погрешность изго­товления и температурную деформацию ()в на­правлении k-й избыточной связи. Система приобретает вид

(4.8)

Знаки перемещений и в уравнениях (4.8) определяются следующим образом. Если для восстановления отброшенной связи точку конструкции следует перемес­тить в направлении, противоположном принятому направ­лению неизвестной силы, то данное перемещение подстав­ляется в уравнения (4.8) со знаком плюс.

При решении канонических уравнений (4.8) в матрич­ной форме следует принимать

Пример 4.3. Произведем расчет Г-образной рамы, за­груженной силой F(рис. 4.5, а). Стойка рамы имеет мо­мент инерции J₁ригель — J₂- В расчете следует учесть то, что по сравнению с проектным состоянием в системе имеется погрешность изготовления, в результате которой шарнирно-подвижная опора смещена вниз на (рис. 4.5, б). Кроме того, в процессе эксплуатации температура рамы

Рис. 4.5. Расчет статически неопределимой системы с учетом погрешности изготовления и температурной деформации

 

повысится по сравнению с температурой изготовления на , что приведет к удлинению ее элементов. При этом уд­линение горизонтального ригеля может происходить сво­бодно, а температурному удлинению стойки на пре­пятствует опора. Необходимо построить эпюры распреде­ления изгибающих моментов, считая, что смещения и весьма малы по сравнению с линейными размерами конструкции.

1. Кинематический анализ показывает, что система один раз статически неопределима: i = 3- 2- 2- 0- 3- 2- l = -l.

2. Основная система получается путем замены шарнир­но-подвижной опоры неизвестной силой (рис. 4.5, в).

3. Каноническое уравнение в данном случае имеет вид

Поскольку для соединения конца ригеля со смещенной опо­рой он должен быть смещен вниз на расстояние , т. е. в сторону, противоположную направлению силы Х_1; то указанные смещения должны быть подставлены в ка­ноническое уравнение со знаком плюс.

4. Для вычисления коэффициентов канонического урав­нения следует построить эпюры изгибающих моментов от единичной силы и от внешней нагрузки (M_F)(рис. 4.5, г, д). Моменты в заделке имеют значения:

Единичное перемещение по формуле (4.3) найдем с использованием метода Верещагина как

Аналогичным образом вычисляется грузовое перемеще­ние по (4.4):

5. Значение неизвестного усилия находится из канони­ческого уравнения как

6. Результирующая эпюра изгибающих моментов стро­ится согласно (4.6) как (рис. 4.5, е)

Изгибающий момент в заделке . Если значение получится отрицательным, то оно отклады­вается слева от стержня (как и ).Момент в узле

Пример 4.4. Проанализировать опорные давления четырехстоечного портала, загруженного центральной вертикальной силой Gи силой F,приложенной на вылете R(рис. 4.6, а). Учесть погрешность основания .

1. В кинематическом анализе этой системы всю конструкцию можно считать одним блоком, так как она не име­ет замкнутых контуров и шарнирных соединений. Соглас­но (2.3), получим

т. е. система один раз внешне статически неопределима.

2. Основную систему образуем путем удаления одной вертикальной связи в опоре С. Неизвестное усилие в от­брошенной связи обозначим Х₁ (рис. 4.6, б).

3. Каноническое уравнение запишем с учетом возмож­ной высотной погрешности основания под опорой С согласно (4.8) как

При этом положительные значения соответствуют впадине под опорой С.

4. Для вычисления коэффициентов канонического урав­нения следует построить эпюры изгибающих моментов от единичной силы M₁ и от внешней нагрузки M_F.

Опорные реакции, возникающие от действия единичнойсилы Эпюры изгибающих моментов показаны на рис. 4.6, б. Значения максимальных изгибающих моментов в центральном узле Здесь половина длины диагонали.

Опорные реакции, возникающие под действием задан­ных нагрузок Gи F,вычисляются из условий равновесия системы (рис. 4.6, в):

Характер эпюры изгибающих моментов показан на рис. 4.6, в. Максимальный изгибающий момент в корне стрелы и вертикальной башне .Моменты в месте крепления ног к центральному узлу:

Единичное перемещение вычисляется с использованием метода Верещагина (п. 3.2.3) по четырем участкам. В результате получается

Где — момент инерции горизонтального ригеля.

Целесообразно ввести понятие коэффициента жесткости портала с_р = 1/5₁₁ (Н/м). В порталах другой конфигурации он может быть вычислен по такой же методике или определен с помощью МКЭ.

Грузовое перемещение вычисляется путем перемножения эпюрM₁ и M_Fметодом Верещагина:

5. Неизвестное усилие, вычисленное из решения кано­нического уравнения,

Опорные реакции в заданной системе найдем как суммы:

(4.10)

Данный результат получен в предположении, что все связи системы являются двусторонними, т. е. могут создавать как положительные, так и отрицательные реакции.

6. Проанализируем полученный результат. Найдем угол поворота стрелы ф, при котором реакция опоры А_г будет максимальной при отсутствии погрешности основания Для этого продифференцируем выражение для A_z по углу и приравняем производную нулю. В результате получится

Таким образом, значение A_z будет максимальным при (рис. 4.6, г), т. е. когда стрела перпендикулярна к диагонали опорной базы портала:

7. Рассмотрим влияние погрешности основания на опор­ные реакции. При этом будем предполагать, что верти­кальные связи портала с основанием односторонние, т. е. представляют собой контакт колеса с рельсом. В этом слу­чае при уменьшении какой-либо реакции до нуля контакт с основанием нарушается и колесо перестает взаимодей­ствовать с рельсом.

Значения реакций опор в положении стрелы на угол вычисляются с учетом полученного выше результата как

(4.11)

Таким образом, если опораС смещена вниз (погреш­ность ), то реакции А_zи С_z уменьшаются, а B_zиD_z— увеличиваются. При

(4.12)

Рис. 4.7. Зависимости опорных давлений от погрешности основа­ния

 

произойдет отрыв колеса С от рельса. В такой ситуации опорная схема портала становится статически определимой и опорные реакции определяются по формулам (4.9).

Если же погрешность , т. е. колесо наехало на возвышение, то реакции А_z и С_z возрастают до тех пор, пока колесоВ или Dне оторвется от рельса. Произойдет это при условии, что

(4.13)

Как видно из этих формул, . Характер графиков, демонстрирующих изменение опорных реакций в за­висимости от погрешности основания, показан на рис. 4.7.