Сходимость в среднем. Равенства Парсеваля

 

Из формулы (3.3) с учетом того, что величина  по определению не отрицательна, следует

 

. (4.1)

 

Левая часть неравенства (4.1) представляет собой частичную сумму положительного числового ряда

 

.  (4.2)

 

Положительный ряд с ограниченными в совокупности частичными суммами сходится, следовательно, сходится и ряд (4.2). Переходя в (4.1) к пределу при , получим неравенство Бесселя

. (4.3)

 

Возвращаясь к формуле (3.3), заметим, что с увеличением п величина  уменьшается, оставаясь неотрицательной. Следовательно, монотонно убывающая неотрицательная последовательность  сходится. из (3.3) получим ее предел

 

. (4.4)

 

Если , где  – частичная сумма ряда Фурье (3.2), то говорят, что ряд (3.2) сходится в среднем к функции . В этом случае из (4.4) следует

 

 (4.5)

 

Соотношение (4.5) называется равенством Парсеваля. Это аналог формулы (1.4) для квадрата модуля вектора.

Замечание. Из сходимости ряда в среднем, вообще говоря, не следует его сходимость в обычном смысле слова.

Если равенство Парсеваля выполняется для всех функций из множества , или, что то же самое, для любой функции из  ряд Фурье сходится в среднем к этой функции, то ортогональная система  называется замкнутой, а соотношение (4.5) – уравнением замкнутости. Замкнутыми системами, например, являются системы функций из упражнения в §3. Доказательство этого факта выходит за рамки настоящего пособия.

Свойства замкнутых систем следующие:

1. Если непрерывная функция  ортогональна всем функциям замкнутой системы, то она тождественно равна нулю. Действительно, в этом случае все коэффициенты Фурье равны нулю. Из (4.5) следует, что , и тогда (см. § 2,свойство нормы 2)

Таким образом, к замкнутой системе функций нельзя присоединить никакой новой функции, отличной от тождественного нуля, которая была бы ортогональна ко всем . Это свойство замкнутой системы функций называют ее полнотой.

Следствие. Если две непрерывные функции  и  имеют одни и те же коэффициенты Фурье, то они тождественно совпадают. Доказательство этого утверждения следует найти самостоятельно.

2. Пусть  и  – коэффициенты Фурье функций  и  относительно замкнутой ортогональной системы . Тогда

 

 (4.6)

 

где, как и ранее,  

Соотношение (4.6) называется обобщенным равенством Парсеваля. Это аналог формулы (1.3) для скалярного произведения векторов.

Так как для функций  коэффициенты Фурье, очевидно, равны , в силу замкнутости системы из (4.5) следует

 

Вычитая почленно эти равенства и используя тождества

 

 

получим равенство (4.6).

3. Если  – замкнутая ортогональная система функций, то

 

, (4.7)

 

т.е. интеграл от функции  можно получить почленным интегрированием ее ряда Фурье. Для доказательства достаточно применить формулу (4.6) к функциям  и

 

 

и учесть, что в этом случае . Тогда

 

 

Отметим, что справедливость формулы (4.7) установлена даже без предположения о сходимости ряда Фурье.

Упражнение. Доказать, что если ряд Фурье сходится равномерно на промежутке [ а, b ] к функции , то он сходится в среднем к этой функции.

§ 5. Тригонометрический ряд Фурье на промежутке [– L, L ]

 

Система функций

 

 (5.1)

 

ортогональна на промежутке [– L, L ] (см. упражнение в § 3).

Показать, что  следует самостоятельно.

Каждой функции , кусочно-непрерывной на промежутке [– L, L ], сопоставим ее ряд Фурье:

 

. (5.2)

 

Коэффициенты Фурье , в соответствии с (3.1), определятся формулами

 

 

 

 (5.3)

 

Ряд (5.2) называется тригонометрическим рядом Фурье.

Как отмечалось в § 4, система функций (5.1) является замкнутой. Поэтому для любой кусочно-непрерывной функции  ее ряд Фурье (5.2) сходится в среднем к этой функции. Равенство Парсеваля (4.5) в принятых теперь обозначениях примет вид

 

. (5.4)

 

Левая часть последнего равенства, как легко видеть, представляет собой удвоенное среднее значение квадрата функции  на промежутке [– L, L ].

Частичные суммы

 

 

тригонометрического ряда (5.2) называются тригонометрическими полиномами Фурье. Из формулы (3.3) следует, что средняя квадратическая погрешность, возникающая при замене функции  ее тригонометрическим полиномом Фурье,

 

. (5.5)