Комплексная форма тригонометрического ряда Фурье

 

Пусть вещественная функция  удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [– L, L ]. Запишем ее разложение в тригонометрический ряд Фурье:

 

, (10.1)

 

где

 

 

. (10.2)

 

Если в (10.1) выразить  и  через показательную функцию от мнимого аргумента:

 

то получим ряд

 

, (10.3)

 

где в силу (10.2)

 

;

 

;

 

=

 

Последние три формулы можно объединить:

 

. (10.4)

 

Ряд (10.3) с коэффициентами (10.4) называется тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме.

Пример 1. Разложить функцию , где  – комплексное число, в ряд Фурье на промежутке .

Решение. Найдем коэффициенты Фурье:

.

 

Поскольку , то

 

,

= .

 

Искомое разложение будет иметь вид

 

, (10.5)

 

где учтено, что

 

.

 

Применяя к ряду (10.5) равенство Парсеваля

 

, (10.6)

 

можно найти сумму еще одного числового ряда. Действительно, в нашем случае

;

 

.

 

Тогда из (10.6) следует

 

.

 

Упражнение 1. Доказать, что

 

; .

Указание. Положить в (10.5) х = 0 и х = p.

Упражнение 2. Доказать, что при

 

; .

Глава 2. Интеграл Фурье

Сходимость интеграла Фурье

 

Пусть функция  определена на всей числовой оси. Считая, что на произвольном конечном промежутке [– L, L ] заданная функция удовлетворяет условиям Дирихле, представим ее тригонометрическим рядом Фурье в комплексной форме:

 

, (11.1)

 

где

 

; (11.2)

 

  – частота k -й гармоники; .

Введя в (11.1) выражения (11.2), получим

 

. (11.3)

 

При  величина . Правая часть формулы (11.3) аналогична интегральной сумме для функции  по переменной w в промежутке . Поэтому можно ожидать, что после перехода в (11.3) к пределу при  вместо ряда получим интеграл

. (11.4)

 

Формула (11.4) называется интегральной формулой Фурье, а ее правая часть – интегралом Фурье.

Рассуждения, с помощью которых получена формула (11.4), не являются строгими и имеют лишь наводящий характер. Условия, при которых справедлива интегральная формула Фурье, устанавливает теорема, принимаемая нами без доказательства.

Теорема. Пусть функция , во-первых, абсолютно интегрируема на промежутке , т.е. интеграл  сходится, и, во-вторых, удовлетворяет условиям Дирихле на каждом конечном промежутке (– L, L). Тогда интеграл Фурье сходится (в смысле главного значения) всюду к , т.е. равенство (11.4) выполняется при всех х из промежутка . Здесь, по-прежнему, предполагается, что в точке разрыва значение функции равно полусумме ее односторонних пределов в этой точке.

 

§ 12. Преобразование Фурье

 

Интегральную формулу Фурье (11.4) преобразуем следующим образом. Положим

 

. (12.1)

 

Если функция  непрерывна и абсолютно интегрируема на всей оси, то функция непрерывна на промежутке . Действительно, так как , то

, (12.2)

 

и, поскольку интеграл справа сходится, то сходится интеграл слева. следовательно, интеграл в (12.1) сходится абсолютно. Равенство (12.2) выполняется одновременно для всех , поэтому интеграл (12.1) сходится равномерно относительно w. Отсюда и следует, что функция  непрерывна (точно так же, как из равномерной сходимости ряда, составленного из непрерывных функций, следует непрерывность его суммы).

Из (11.4) получим

 

. (12.3)

 

Комплексная функция , определяемая формулой (12.1), называется преобразованием Фурье или Фурье-образом функции . В свою очередь, формула (12.3) определяет  как обратное преобразование Фурье, или прообраз функции . Равенство (12.3) при заданной функции  можно рассматривать, как интегральное уравнение относительно функции , решение которого дается формулой (12.1). И, наоборот, решение интегрального уравнения (12.1) относительно функции  при заданной  дает формула (12.3).

В формуле (12.3) выражение  задает, условно говоря, пакет комплексных гармоник с частотами, непрерывно распределенными на промежутке  и суммарной комплексной амплитудой . Функция  называется спектральной плотностью. Формулу (12.2), записанную в виде

,

 

можно трактовать, как разложение функции  в сумму пакетов гармоник, частоты которых образуют сплошной спектр, распределенный на промежутке .

Равенства Парсеваля. Пусть и  – Фурье-образы вещественных функций  и  соответственно. Тогда

 

; (12.4)

 

, (12.5)

 

т.е. скалярные произведения и нормы функций являются инвариантами преобразования Фурье. Докажем это утверждение. по определению скалярного произведения имеем . Заменив функцию  ее выражением (12.3) через Фурье-образ , получим

 

.

 

В силу (12.1)

 

.                

Поэтому , т.е. формула (12.4) доказана. Формула (12.5) получается из (12.4) при .

Косинус- и синус-преобразования Фурье. Если вещественная функция  четна, то ее Фурье-образ, который здесь будем обозначать , также является вещественной четной функцией. Действительно,

 

.

 

Последний интеграл, вследствие нечетности подынтегральной функции, обращается в нуль. Таким образом,

 

. (12.6)

 

Здесь использовано свойство (7.1) четных функций.

Из (12.6) следует, что функция  вещественна и четным образом зависит от w, так как w входит в (12.6) только через косинус.

Формула (12.3) обратного преобразования Фурье в этом случае дает

 

= .

 

Так как и  – соответственно четная и нечетная функции переменной w, то

 

. (12.7)

 

Формулы (12.6) и (12.7) определяют косинус-преобразование Фурье.

Аналогично, если вещественная функция  нечетна, то ее преобразование Фурье , где  – вещественная нечетная функция от w. При этом

 

; (12.8)

 

. (12.9)

 

Равенства (12.8), (12.9) задают синус-преобразование Фурье.

Заметим, что в формулы (12.6) и (12.8) входят значения функции  только для . Поэтому косинус- и синус-преобразования Фурье можно применять и к функции, определенной на полубесконечном промежутке . В этом случае при  интегралы в формулах (12.7) и (12.9) сходятся к заданной функции, а при  к ее четному и нечетному продолжениям соответственно.

Покажем, как с помощью преобразования Фурье вычисляются некоторые несобственные «неберущиеся» интегралы.

Пример 1. Вычислить интеграл Лапласа .

Решение. Найдем Фурье-образ функции  где :

.

 

С помощью формулы обратного преобразования Фурье

 

 

получим

 

 

или

 

.

 

Здесь первое слагаемое представляет собой удвоенный интеграл Лапласа, а второе равно нулю вследствие нечетности подынтегральной функции. Поэтому

 

.

Пример 2. Вычислить разрывной множитель Дирихле , если .

Решение. Применив косинус-преобразование Фурье к четной функции

 

 

получим

 

;

 

.

 

Таким образом,

 

 

В частности интеграл Дирихле

 

.

Пример 3. Вычислить интеграл Эйлера-Пуассона .

Решение. Сначала вычислим интеграл , применив к функции , где , преобразование Фурье и введя замену

 

= ;

 

 

.

 

Отсюда , и, следовательно, с заменой  можно записать

 

.

 

Упражнение 1. Используя равенство Парсеваля, вычислить интегралы

 

; .

 

Упражнение 2. Доказать, что

 

,

 

используя равенство Парсеваля.

 

§ 13. Основные сведения из теории преобразования Фурье

 

Тот факт, что функция  является Фурье-образом функции , будем обозначать в дальнейшем одним из следующих способов: .

Свойства преобразования Фурье:

1. Теорема линейности. , где . Это свойство сразу следует из определения (12.1) и линейности операции интегрирования.

2. Теорема подобия. , где . Обозначив , получим

 

 

 

3. Теорема смещения. , где . Введя замену , получим

 

.

Следствие.

, (13.1)

где . Действительно,

 

.

 

4. Теорема о свертке. Напомним, что сверткой абсолютно интегрируемых функций  и  называется функция

 

.

 

Фурье-образ свертки функций f и g равен произведению их Фурье-образов, умноженному на : .

Так как по определению

 

,

 

то, выполнив во внутреннем интеграле замену , получим

 

=

= = ,

что и требовалось доказать.

5. Теорема об образе производной. Пусть функция  и ее производная  абсолютно интегрируемы на промежутке . По формуле Ньютона – Лейбница

 

.

 

Так как производная  интегрируема на всей оси, интеграл в правой части последнего равенства имеет конечный предел при . Следовательно, существует конечный предел . При этом , ибо в противном случае функция  была бы неинтегрируемой на промежутке . Точно также доказывается, что .

Введем в рассмотрение Фурье-образ производной

 

.

 

Выполнив интегрирование по частям, получим

 

.

 

Так как внеинтегральный член равен нулю, то

 

.

Таким образом, операции дифференцирования функции  соответствует операция умножения ее Фурье-образа на множитель . Аналогично, если функция  имеет абсолютно интегрируемые производные до n- го порядка включительно, то

 

 

, .

Следствия. 1. Обыкновенное линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами преобразованием Фурье переводится в линейное алгебраическое уравнение.

2. Линейное уравнение в частных производных с постоянными коэффициентами и с двумя независимыми переменными преобразованием Фурье по одной из переменных переводится в обыкновенное линейное дифференциальное уравнение.

Пример 1. Доказать, что

 

, (13.2)

 

где .

Решение. Положим

 

 

Тогда

 

Таким образом,

 

,

 

и по теореме о свертке

 

.

Пример 2. Найти решение уравнения

 

  (13.3)

 

при , удовлетворяющее начальному условию

. (13.4)

Замечание. Уравнение (13.3) называется уравнением теплопроводности. Уравнениями такого вида описываются одномерные процессы диффузии, переноса тепла и т.п.

Решение. Применим к уравнению (13.3) преобразование Фурье. Для этого, умножив обе части уравнения на , проинтегрируем его по х от  до . Тогда

 

 

 

или

 

, (13.5)

 

где  – Фурье-образ функции .

Здесь использовалась формула для Фурье-образа производной второго порядка:

 

.

 

Равенство (13.5) – это обыкновенное линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно функции  переменной t, где w – параметр.

Переходя к Фурье-образам в равенстве (13.4), получим начальное условие для уравнения (13.5):

 

. (13.6)

Решением задачи Коши (13.5), (13.6) является функция

 

.

 

С помощью (12.3) находим  – прообраз функции :

. (13.7)

 

Последний интеграл в (13.7) равен . Поэтому

 

.

 

По теореме о свертке

 

,

 

или

 

. (13.8)

 

Решение уравнения теплопроводности, записанное в виде (13.8), называется интегралом Пуассона.

Пример 3. Найти решение волнового уравнения

 

, (13.9)

 

удовлетворяющее начальным условиям

 

. (13.10)

Замечание. Задача Коши (13.9),(13.10) является математической моделью одномерных волновых процессов в сплошных безграничных средах. Поле возмущений в среде, выведенной из равновесного состояния, описывается функцией , физический смысл которой определяется спецификой рассматриваемой задачи. В задаче о малых поперечных колебаниях струны  – это отклонение струны от ее равновесного положения, функции j(х) и  задают соответственно форму струны и распределение скоростей ее точек в начальный момент времени. Константа , где и r – натяжение и плотность струны в положении равновесия. В задачах акустики  – скорость возмущенного движения в точке  в момент времени ;  – скорость звука в невозмущенной среде и т.д.

Решение. Преобразуя по Фурье уравнение (13.9) и начальные условия (13.10), получим задачу Коши для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка:

 

 

где w – параметр.

Решение задачи имеет вид

 

 

Используя (13.1) и (13.2), получим формулу Эйлера – Даламбера

 

 (13.11)

Для выяснения физического смысла полученного решения преобразуем формулу (13.11). Положим

 

.

 

Тогда

 

. (13.12)

 

При  возмущение  сохраняет постоянное значение , если переменные  и  связаны зависимостью: . Иными словами, возмущенное состояние  переносится в положительном направлении оси абсцисс со скоростью . Поэтому говорят, что функция  определяет бегущую волну, перемещающуюся вправо со скоростью а. Аналогично, функция  задает волну, распространяющуюся влево с той же скоростью а. Таким образом, выяснен физический смысл постоянной величины а в уравнении (13.9): а – это скорость распространения возмущений в среде.

Из формулы (13.12) следует, что возмущение в точке х в момент времени  есть результат сложения волн  и , вышедших в момент времени  из точек с координатами  и  соответственно.

Итак, при весьма общих предположениях установлено следующее:

1. Произвольную функцию  можно представить в виде «суммы» гармоник; если  задана на конечном интервале (или периодическая), то эта сумма представляет собой ряд Фурье; если  задана на всей числовой оси (но непериодическая), то эта сумма – интеграл Фурье. С точки зрения приложений, это означает, что самые разнообразные физические зависимости, скажем, давления, тока, напряжения и т.д. от времени можно представить в виде линейной суперпозиции гармонических колебаний.

2. В представлении формулы  в виде ряда или интеграла Фурье естественно возникает ее спектр, который однозначно определяется по функции  и который, в свою очередь, однозначно определяет саму функцию .

3. Результаты спектрального анализа, т.е. процесса нахождения спектра той или иной зависимости, используются при исследовании линейных систем, так как в этом случае достаточно изучить поведение системы при воздействии на нее гармонических колебаний, а затем просуммировать результаты этих воздействий с учетом спектра рассматриваемого (уже произвольного) воздействия.

Упражнение. Доказать, что, если на всей оси функция y(х) дифференцируема, а j(х) – дважды дифференцируема, то функция (13.11) действительно удовлетворяет уравнению (13.9) и начальным условиям (13.10).