Сходимость тригонометрического ряда Фурье. Теорема Дирихле

 

Функция  называется кусочно-монотонной на промежутке , если этот промежуток можно разделить на конечное число частей, на каждой из которых функция монотонна.

Если функция кусочно-непрерывна и кусочно-монотонна на промежутке , то говорят, что на этом промежутке она удовлетворяет условиям Дирихле. Для таких функций справедлива принимаемая нами без доказательства следующая теорема.

Теорема Дирихле. Если функция  удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [– L, L ], то ее ряд Фурье (5.2) сходится во всех точках этого промежутка. При этом во внутренних точках промежутка сумма ряда Фурье , если в точке х функция непрерывна; в точках разрыва ; на концах промежутка , где  – односторонние пределы в точке а.

Если доопределить (или переопределить) функцию , полагая  в точках разрыва и f (– L) = = на концах промежутка, то в соответствии с теоремой Дирихле

 

, (6.1)

 

где коэффициенты  по-прежнему определяются формулами (5.3).

Соотношение (6.1) обычно называется разложением функции  в тригонометрический ряд Фурье. Члены ряда (6.1)

 

 (6.2)

 

называются гармониками. Введем в рассмотрение величины  и , связанные с коэффициентами Фурье  и  соотношениями  и . Тогда гармоника (6.2) запишется в виде , где  – амплитуда гармоники;  – ее частота;  – начальная фаза. Множество частот  образует дискретный частотный спектр функции  на промежутке [– L, L ]. Формула (6.1) примет вид

 

, (6.3)

 

т.е. функция, удовлетворяющая условиям Дирихле, представляет собой результат сложения бесконечного числа гармоник. При этом амплитуды и начальные фазы слагаемых гармоник зависят от разлагаемой функции, а частотный спектр одинаков для всех функций, заданных на одном и том же промежутке.

Из равенства Парсеваля (5.4) следует

 

, (6.4)

 

где .

Таким образом, сумма квадратов амплитуд гармоник равна удвоенному среднему значению квадрата функции  на промежутке [– L, L ]. Соотношение (6.4) часто называют энергетическим равенством.

В силу периодичности гармоник из сходимости ряда (6.3) на промежутке [– L, L ] следует его сходимость всюду, т.е. на всей числовой оси. Суммой этого ряда, очевидно, будет 2 L- периодическая функция , которая на промежутке [– L, L ] совпадает с заданной функцией . Функция , определенная указанным образом, называется периодическим продолжением .

Теорема Дирихле (другая формулировка). Если функция  удовлетворяет условиям Дирихле на промежутке [– L, L ], то тригонометрический ряд Фурье (6.1) сходится всюду к ее периодическому продолжению.

Замечание. Если функция , заданная для всех , является 2 L- периодической, то ее периодическое продолжение совпадает с самой функцией, и, следовательно, ряд Фурье (6.1) представляет функцию  на всей числовой оси. В этом случае можно

получить другие, иногда более удобные по сравнению с (5.3), формулы для коэффициентов Фурье:

 

 

, (6.5)

 

где с – любое число.

Вместо того, чтобы устанавливать справедливость формул (6.5), докажем более общее утверждение: если функция  имеет период Т, то интеграл  не зависит от а. Действительно,

 

 

Выполнив в среднем интеграле замену переменной  и воспользовавшись периодичностью подынтегральной функции, получим

 

Последний интеграл не зависит от а, что, собственно, и требовалось доказать.

Таким образом, интегралы в (6.5) не зависят от с. Полагая в этих формулах , убеждаемся в тождественности выражений (5.3) и (6.5).

Если функция  не является периодической, то в формулах (6.5) в подынтегральные выражения вместо функции  должно входить ее периодическое продолжение .

Упражнение. Доказать, что гармоники (6.2) являются периодическими функциями с периодом 2 L, т.е. .