Основные теоремы операционного исчисления

 

Свертка оригиналов. Сверткой оригиналов  и  называется функция

 

.

 

Функции f (t) и g (t) называются компонентами свертки.

 

Найдем для примера свертку произвольного оригинала  и единичной функции  Имеем . Так как  при  то

 

. (16.1)

 

Доказать, что свертка оригиналов – оригинал и что свертка коммутативна, т.е. , следует самостоятельно.

Теорема 1. Если  и , то

 

.

 

Действительно, по определению (14.3) имеем

 

,

 

где D – треугольная область, задаваемая системой неравенств

 

 

Изменив порядок интегрирования в двойном интеграле, получим

 

.

Введем вместо t новую переменную . Тогда

 

,

 

что и требовалось доказать.

Пример 1. Найти оригинал , если его Лаплас-образ .

Решение. Представим данный Лаплас-образ в виде произведения двух изображений, для которых известны оригиналы:

 

.

 

Так как

 

,

 

то по теореме 1 имеем

 

.

 

Упражнение 1. Доказать, что свертка линейна по каждой компоненте:

,

где а и b – постоянные.

Упражнение 2. Найти свертку функций  и .

Интегрирование и дифференцирование оригиналов. Для интегрирования и дифференцирования оригиналов справедливы следующие теоремы.

Теорема 2. Если  то .

Для доказательства используем формулу (16.1) и теорему 1. Тогда

 

.

Теорема 3. Если и  – оригиналы и , то

 

. (16.2)

В самом деле, исходя из формулы Ньютона – Лейбница, в силу (16.1) будем иметь

 

.

 

Тогда по теореме 1

 

.

 

Отсюда , что и требовалось доказать.

Применив формулу (16.2) дважды, получим

 

 

и т.д. В частности, если , то , т.е. в этом случае дифференцирование оригинала сводится к умножению его изображения на p.

Дифференцирование и интегрирование изображений. Без доказательства примем следующие свойства преобразования Лапласа:

1. Если  – оригинал с показателем роста , то его изображение  имеет в области  производные любых порядков.

2. При том же условии пределы, производные и интегралы от  в области  можно находить, выполняя соответствующие операции под знаком интеграла (14.3).

Теорема 4. Если , то , т.е. дифференцирование изображения сводится к умножению оригинала на . Действительно, дифференцируя (14.3) по параметру p, получим

 

.

 

Справа стоит интеграл Лапласа для функции , следовательно,

 

,

 

что и требовалось доказать.

Применив несколько раз теорему 4, получим

 

.

Теорема 5. Если  – оригиналы и , то

 

,

 

т.е. интегрирование изображения в указанных пределах сводится к делению оригинала на . Так как в силу (14.3) имеем , то

.

 

Поскольку при  и , то

 

.

 

Рассмотрим функции

 

.

 

По теореме 4 имеем

 

 

.

 

Так как , то по теореме 5

 

.

Точно так же получим

 

.

 

Применяя теорему 2, найдем изображение интегрального синуса

 

.

 

Следствия из теорем 1-5 приведем с доказательствами.

Следствие 1. Если сходится интеграл

 

, (16.3)

 

то

 

. (16.4)

 

Из сходимости интеграла (16.3) следует, что изображение  непрерывно в замкнутой области . Переходя к пределу в (14.3) при , приходим к требуемому результату.

Следствие 2. Если сходится интеграл , то

 

.

Так как , то в силу (14.4)

 

.

 

Для  справедливо равенство

 

.

Следствие 3. Если  – оригиналы, то . Действительно, по теореме 3

 

. (16.5)

 

С другой стороны,  (см. § 14). Переходя к пределу в (16.5) при , получим требуемый результат.

Следствие 4. Если  – оригиналы и существует конечный предел , то

. (16.6)

Исходим из равенства

 

. (16.7)

 

В силу (14.4) и теоремы 3

. (16.8)

 

Из (16.7) и (16.8) получаем (16.6).

Формула (16.6) позволяет исследовать поведение оригиналов при , имея в своем распоряжении только их изображения.

Упражнение. Вычислить несобственный интеграл , где .