Глава 3. Операционное исчисление

§ 14. Преобразование Лапласа

 

Понятие оригинала. Кусочно-непрерывная функция  называется оригиналом, если выполняются следующие условия:

1)  для всех отрицательных t;

2) при растет не быстрее экспоненты, т.е. существуют такие постоянные M > 0 и c > 0, что  для всех t.

Число с называется показателем роста . очевидно, что для ограниченных оригиналов показатель роста можно считать равным нулю.

Простейшим оригиналом является единичная функция Хевисайда

 

 

Если функция  удовлетворяет условию 2 и не удовлетворяет 1, то произведение будет удовлетворять и условию 1, т.е. будет оригиналом. Для упрощения записи будем, как правило, множитель H (t) опускать, считая, что все рассматриваемые в этой главе функции равны нулю при отрицательных значениях t.

Легко видеть, что оригиналами являются такие функции, как  и т.п.

Можно доказать, что сумма, разность и произведение оригиналов являются оригиналами и что оригиналом является функция  при  (доказательства следует найти самостоятельно).

Замечание. Из этих утверждений следует, что многочлены произвольной степени , а также функции вида  являются оригиналами.

Интеграл Лапласа. Интегралом Лапласа для оригинала f (t) называется несобственный интеграл вида

 

, (14.1)

 

где  – комплексный параметр.

Теорема. Интеграл Лапласа абсолютно сходится в полуплоскости П _с: , где с – показатель роста f (t). В самом деле, по определению оригинала имеем . Таким образом, интеграл (14.1) мажорируется сходящимся интегралом , и, следовательно, сходится абсолютно в П _с.

Замечание. При доказательстве теоремы получено используемое в дальнейшем неравенство:

 

 (14.2)

Преобразование Лапласа. Интеграл Лапласа

 

 (14.3)

 

представляет собой функцию параметра p, определенную в полуплоскости П _с: . Функция  называется Лаплас-образом (изображением по Лапласу) оригинала . Тот факт, что  есть Лаплас-образ , обозначается  или .

Соотношение (14.3), устанавливающее связь между оригиналом и его Лаплас-образом, называется преобразованием Лапласа.

Свойства преобразования Лапласа следующие:

1. Теорема линейности. При любых постоянных  и

 

.

 

Это утверждение вытекает из определения (14.3) и свойств интегралов.

2. Имеет место , что непосредственно следует из неравенства (14.2).

3. Теорема подобия. Для любого

 

.

 

Действительно, полагая , получим

 

.

 

4. теорема смещения. Для любого а . Действительно,

 

.

 

5. теорема запаздывания. Для любого . По определению преобразования Лапласа имеем

.

 

Здесь учтено, что  при . Выполнив в последнем интеграле замену , получим

 

.

Обратное преобразование Лапласа. Установим связь между преобразованиями Лапласа и Фурье. Так как при  оригинал , то

 

 

где  – показатель роста .

Интеграл в правой части последней формулы есть интеграл Фурье для . Таким образом, Лаплас-образ функции  является Фурье-образом функции . Из формулы обратного преобразования Фурье получим, что в точках непрерывности

 

.

 

Отсюда

 

 (14.4)

Если в точке t функция  терпит разрыв, то значение интеграла в (14.4) равно полусумме односторонних пределов  в этой точке.

Формула (14.4) определяет обратное преобразование Лапласа, с помощью которого оригинал однозначно восстанавливается по своему изображению с точностью до значений в точках разрыва.