Изображения простейших функций

 

Единичная функция Хевисайда. Имеем:

 

 

Так как при , то

.

Для функции Хевисайда с запаздывающим аргументом по теореме запаздывания получим

 

Экспонента. По теореме смещения

 

Гиперболические и тригонометрические функции. В силу линейности преобразования Лапласа имеем

;

 

;

 

;

 

.

Степенная функция с натуральным показателем. Положим , где . Тогда при

 

.

 

При , поэтому

 

 

Отсюда

 

.

Так как , то

 

Упражнение 1. Найти, используя теорему смещения, Лаплас-образы оригиналов

Периодические функции. Если оригинал  является Т-периодической функцией, то его изображение по Лапласу

 

 (15.1)

 

Действительно, в этом случае

 

.

 

Выполнив замену , в силу периодичности  будем иметь

 

.

 

Ряд в правой части последнего равенства представляет собой сумму бесконечной геометрической прогрессии со знаменателем  Так как при , то ряд сходится, и его сумма равна , откуда и следует доказываемое утверждение.

Пример. Найти Лаплас-образ оригинала  с периодом Т = 1).

Решение. Имеем

 

 

Следовательно, в силу (15.1)

 

.

Ступенчатые (кусочно-постоянные) функции. Ступенчатая функция , где , а числа  образуют возрастающую последовательность, может быть представлена в виде

 

, ,

 

где  

 

Тогда

 

 

Упражнение 2. Найти изображение кусочно-постоянной функции

Импульсные функции. Импульсной функцией будем называть функцию вида

 

где  – функция, определенная для всех

Используя функцию Хевисайда с запаздывающим аргументом, можем записать

 

.

 

Введем функции , где . Тогда , и по теореме запаздывания

 

.

Пример. Найти Лаплас-образ импульсной функции

 

Решение. Так как

 

;

;

,

 

то

 

.

Дельта-функция Дирака. Рассмотрим семейство ступенчатых импульсных функций

 

 (15.2)

 

и семейство их изображений по Лапласу

 

. (15.3)

 

При  семейство функций  расходится, так как

 

 

Введем условную функцию  – дельта-функцию Дирака, которую будем считать пределом семейства (15.2): . Таким образом, дельта-функция равна нулю всюду, кроме точки , где она равна .

Изображением дельта-функции условимся считать предел семейства (15.3) при :

 

.

 

Далее по определению положим

 

; .

Можно доказать (и это следует сделать самостоятельно) справедливость следующих утверждений:

 

 (15.4)

 

 (15.5)

 

 (15.6)

 

Выражения (15.5) и (15.6) корректны только при условии непрерывности функции f (t).

Замечание 1. Из утверждения (15.6) следует, что

 

 

что полностью соответствует теореме запаздывания.

Замечание 2. В силу (15.4) имеем

 

.

 

Таким образом, дельта-функцию формально можно рассматривать как производную единичной функции Хевисайда.

В прикладных дисциплинах дельта-функции широко используются для моделирования ударных сил, сосредоточенных нагрузок и тому подобных явлений.