Из формулы условной вероятности можно вывести вероятность совместного появления двух событий.

Если событие В не влияет на исход А, то

В этом случае события А и В называются независимыми, то есть появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. Если независимость событий не следует явно из предметных соображений, то она проверяется по формуле, то есть находят Р(А), Р(В) и их произведение сравнивают с Р(AВ).

Количество информации

Информацию можно считать мерой уменьшения неопределенности знаний. Если некоторое сообщение приводит к уменьшению неопределенности знаний, то говорят, что такое сообщение содержит информацию. Количество информации для событий с различными вероятностями определяется по формуле:

где I – количество информации, N – количество возможных событий,
p_i- вероятности отдельных событий.

Если события равновероятны, то количество информации определяется по формуле: I = log₂N или из показательного уравнения: N = 2^I.

Упражнения:

1. Бросают два кубика: красный и синий. Считая все комбинации цифр на красном и синем кубиках равновозможными, определите вероятность того, что цифры на красном и синем кубиках будут одинаковы.

2. Бросают два кубика: красный и синий. Считая все комбинации цифр на красном и синем кубиках равновозможными, определите, какая из сумм будет наиболее вероятной.

3. Бросают два кубика: красный и синий. Считая все комбинации цифр на красном и синем кубиках равновозможными, определите, какая из сумм будет иметь наибольшую вероятность: 3 или 10?

4. Опыт состоит в одновременном бросании четырех кубиков (красного, синего, зеленого, желтого). Найдите вероятность того, что

а) выпадут четыре шестерки;

б) выпадут три шестерки и одна пятерка;

в) выпадут две шестерки и две пятерки;

г) выпадет ровно одна шестерка;

д) выпадут четыре разные цифры;

е) не выпадет ни одной шестерки;

ж) выпадет хотя бы одна шестерка.

5. В очередь в случайном порядке становятся четыре человека А, Б, В, Г. Считая все варианты расположения их равновозможными, определите вероятность следующих событий:

а) А будет первым в очереди;

б) Б не будет последним в очереди;

в) А будет стоять раньше Б;

г) А будет стоять рядом с Б (до или после него);

д) А будет стоять раньше Б и раньше В;

е) А будет стоять раньше Б, а В будет стоять раньше Г.

6. Среди учеников школы 15% знают французский язык и 20% знают немецкий язык. Доля учеников, знающих оба эти языка, составляет 5%. Какова доля учеников, знающих французский язык, среди учеников, знающих немецкий язык?

Основные понятия комбинаторики

В ряде случаев сравнительно нетрудно подсчитать как общее число элементарных исходов, так и число исходов, благоприятных для данного события.

Однако в большинстве случаев этот подсчет представляет трудность при решении более сложных задач на классическую вероятность.

Чтобы владеть некоторыми стандартными приемами при расчетах по схеме классической вероятности, рассмотрим понятия:

· перестановки,

· размещения,

· сочетания,