При нормальном распределении крайние значения некоторого признака появляются редко; чем ближе значение признака к математическому ожиданию, тем чаще оно встречается.

Математическое ожидание и дисперсия случайной величины x, распределенной как N (a, s ²), равны:

Диаграмма нормального распределения симметрична относительно а, то есть равновеликие отклонения от математического ожидания встречаются одинаково часто. При этом в точке а функция f (x) достигает своего максимума, который равен 1/(Ö2ps). Параметр а характеризует положение диаграммы функции на числовой оси. При х ® ± ¥ функция f (x) стремится к нулю.

Параметр s характеризует степень сжатия или растяжения (плотности) диаграммы. Чем больше s, тем «шире» кривая, а ее максимальная высота ниже.

В область от а - s до а + s нормально распределенная случайная величина попадает с вероятностью 0,683. В пределы от - 2 s до + 2 s случайная величина попадает с вероятностью 0,955, а в пределы от - З s до + 3 s - с вероятностью 0,997. Последняя закономерность трактуется как правило трех сигм.

Можно описать целое семейство нормальных кривых, зависящих от двух параметров а и s. Особую роль играет нормальное распределение с параметрами а = 0 и s = 1, то есть распределение N(0,1), которое называют стандартным или нормированным нормальным распределением. Плотность стандартного нормального распределения вычисляют по формуле:

В Excel для вычисления значений
нормального распределения используются функции:

НОРМРАСП - вычисляет значения вероятности нормальной функции распределения для указанного среднего и стандартного отклонения

НОРМСТРАСП - используется для вычисления стандартного нормального интегрального распределения. Это распределение имеет среднее равное нулю и стандартное отклонение равное единице.

НОРМОБР - вычисляет значения квантилей для указанного среднего и стандартного отклонения

НОРМСТОБР – аналогична функцииНОРМОБР

НОРМАЛИЗАЦИЯ - позволяет по значению х и параметрам распределения найти нормализованное значение, соответствующее заданному х.

Пример 1. Построить диаграмму нормальной функции плотности вероятности f(x) при М = 24,3 и s = 1,5.

1. Вычисляем диапазон М ±3 s - от 19,8 до 28,8.

2. Вводим в ячейки х от 19,8 до 28,8 с шагом 0,5.

3. Для получения значения вероятности воспользуемся функцией НОРМРАСП (х; среднее; стандартное отклонение; интегральная):

• х - значение, для которого строится распределение;

• среднее - среднее арифметическое распределения;

• стандартное отклонение - стандартное отклонение распределения;

• интегральная - логическое значение, определяющее форму функции. Если интегральная = ИСТИНА, то функция НОРМРАСП возвращает интегральную функцию распределения; если это аргумент = ЛОЖЬ, то вычисляет значение функция плотности распределения.

По полученным данным строим искомую диаграмму нормальной функции распределения.

Пример 2. Построить диаграмму стандартного нормального интегрального распределения случайной величины в диапазоне от -3 до 3 с шагом 0,5.

Воспользуемся функцией НОРМСТРАСП для вычисления стандартного нормального интегрального распределения. Это распределение имеет среднее равное нулю и стандартное отклонение равное единице. Эта функция может использоваться вместо таблицы для стандартной нормальной кривой.