Случайная величина с дискретным распределением

В практических задачах обычно используются два вида случайных величин - дискретные и непрерывные.

Случайная величина называется дискретной, если значения, которые она может принять нумеруются. Дискретной случайной величиной называется такая случайная величина, которая может принимать значения, образующие счетные множества. Примером дискретной случайной величины - число лепестков в цветке сирени.

Законом распределения случайной величины X называется соответствие между значениями случайной величины x ₁, x ₂,…, x_k и вероятностями их реализации p ₁, p ₂,…, p_k.

Закон распределения может быть задан в виде таблицы, формулы или графика.

Интегральной функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), равная вероятности P(Х < x), т.е. вероятность того, что случайная величина X примет значение, меньшее x: Очевидно, что

где суммирование ведется по всем i, для которых x_i < x.

Функция F (x) является монотонно возрастающей функцией, так как при возрастании x могут только добавиться положительные члены – вероятности событий. Если а > b, то F (a)≥ F (b). При изменении x от - ¥ до + ¥ функция F (x) растет от 0 до +1 и для дискретных случайных величин имеет ступенчатый вид:

Если возможные значения X ограничены снизу величиной М₁, то F (M ₁) =0. Если возможные значения X ограничены сверху величиной М₂, то F (M ₂ + D) =1, где D ≥0

Если а < b, то на основании теоремы сложения вероятностей справедливо равенство:

откуда следует:

Непрерывная случайная величина

Непрерывной называется случайная величина, значения которой непрерывно заполняют какой либо интервал (температура воздуха на улице).

Допустим, что возможными значениями случайной величины X являются любые значения из некоторого промежутка [ a, b ]. Интегральным законом распределения случайной величины (как и для дискретной случайной величины) является функция, определяющая вероятность принятия случайной величиной значения, меньшего x:

График функции F (x) для непрерывного распределения имеет примерный вид, приведенный на рисунке.

Непрерывная случайная функция считается заданной, если известна ее функция распределения F (x).

Числовые характеристики распределения вероятностей

Числовые характеристики распределения вероятностей помогают составить наглядное представление об этом распределении. Наиболее часто употребляемыми характеристиками случайной величины служат моменты и квантили.

Первый момент случайной величины X, называемый также математическим ожиданием, или средним значением обозначается М X.

Математическим ожиданием дискретной случайной величины со значениями x ₁, x ₂,..., имеющими вероятности p ₁, p ₂,..., является

Основные свойства математического ожидания