Кроме первого и второго моментов, при описании случайных величин используются и другие моменты: третий, четвертый и т. д.

Для дискретной случайной величины k -м моментом со значениями
x ₁, x ₂,..., имеющих вероятности p ₁, p ₂,..., называется величина

а k -м центральным моментом

Чаще всего из нормированных моментов используются асимметрия и эксцесс - третий и четвертый нормированные центральные моменты.

Для случайной величины X асимметрия высчитывается по формуле:

, а эксцесс –

Асимметрия характеризует несимметричность распределения случайной величины, а эксцесс - степень выраженности «хвостов» распределения, т.е. частоту появления удаленных от среднего значений.

Значения асимметрии и эксцесса используют для проверки гипотезы о том, что данные (выборка) над которыми велось наблюдение, принадлежат заданному семейству распределений, например нормальному. Так, для любого нормального распределения асимметрия = 0, а эксцесс = 3.

Для случайных величин, принимающих вещественные значения, используются характеристики - квантили.

Квантилью x_p случайной величины, имеющей функцию распределения F(x), называется решение уравнения F(x) = p, где p - заданная вероятность.

Величина х_р называется р-квантилью распределения F(x). Среди квантилей чаще всего используют медиану и квартили распределения.

Медианой называется квантиль со значением p = 0,5.

Верхняя квартиль - квантиль со значением p = 0,75. Нижняя квартиль - квантиль со значением р = 0,25.

В статистике используют децили - квантили уровней 0,1; 0,2;...; 0,9. Значение децилей позволяет представлять поведение графика у = F(x).

В MS Excel для вычисления некоторых числовых характеристик дискретных распределений вероятностей используются специальные функции СРЗНАЧ, ДИСПР, СТАНДОТКЛОНП, КВАРТИЛЬ и ПЕРСЕНТИЛЬ.

СРЗНАЧ - вычисляет математическое ожидание для всей совокупности значений дискретной случайной величины. Например, если ячейки А1: А7 содержат числа 10, 14, 5, 6, 10, 12 и 13, являющиеся дискретным распределением, то математическим ожиданием СРЗНАЧ (А1: А7) = 10;

ДИСПР - позволяет оценить дисперсию дискретного распределения. Например, ДИСПР (10;14;5;6;10;12;13) = 10;

СТАНДОТКЛОНП - вычисляет стандартное отклонение дискретного распределения. Например, СТАНДОТКЛОНП (10; 14; 5; 6; 10; 12; 13) = 3,162278;

КВАРТИЛЬ - определяет квартили распределения.

Функция КВАРТИЛЬ имеет формат: КВАРТИЛЬ (массив; значение). Массив представляет собой интервал ячеек, содержащих все значения дискретной случайной величины, а значение определяет, какая квартиль должна быть найдена (0 - минимальное значение распределения, 1 - нижний квартиль, 2 - медиана, 3 - верхний квартиль, 4 - максимальное значение распределения).

Например, КВАРТИЛЬ ({ 10; 14; 5; 6; 10; 12; 13 }; 3) = 12,5. Это означает, что четверть всех значений распределения больше чем 12,5.

ПЕРСЕНТИЛЬ позволяет получить р -квантили заданного распределения. Например, если ячейки А1: А7 содержат числа 10, 14, 5, 6, 10, 12 и 13, то квантилью со значением 0,1 является ПЕРСЕНТИЛЬ (A 1: A 7; 0,1) = 5,6.

Упражнения:

26. Найти математическое ожидание и стандартное отклонение дискретного распределения 0,2; 0,5; 2; 3; 5,1; 8; 2; 3.

27. Найти 25% -ную квартиль для распределения из упражнения 26.