Логическая символика и терминология

Логическая символика и терминология

 

Для сокращения записей будем использовать логические символы:

 – принадлежит,

 – содержится,

 – любой, для любого, каждый, для всех и т. п.,

 – существует, найдется,

: или | – заменяет слова «такой, что…»,

! ­– единственный,

– знак следования (в записи  условие А называется достаточным для   В, условие   В называется необходимым для А),

– знак равносильности (означает, что  и при этом ),

■ – знак окончания доказательства.

 

 

Точные грани числовых множеств

Пусть .

О. Множество Х  называется ограниченным сверху, если

: .

Число с называется верхней гранью множества Х.

О. Множество   Х  называется ограниченным снизу, если

: .

 Число   называется нижней гранью множества Х.

О. Множество Х называется ограниченным, если оно ограничено и сверху, и снизу, т.е. : .

 

Утверждение  Множество Х ограничено тогда, и только тогда, когда :   .

 

О. Максимальным элементом множества Х  называется такое число а, что : .

О. Минимальным элементом множества Х  называется такое число а, что : .

О. Множество Х  называется не ограниченным сверху, если

: : .

О. Множество Х  называется не ограниченным снизу, если

: : .

О. Множество Х называется неограниченным, если оно не ограничено сверху или не ограничено снизу.

 

О. Точная верхняя грань – это наименьшая из всех верхних граней, т.е.  (супремум), если

1) ;   2) .

Или .

О. Точная нижняя грань – это наибольшая из всех нижних граней, т.е.  (инфинум), если

1) ;   2) .

Или .

 

Замечание. 1) Множество может не иметь максимального элемента, но иметь точную верхнюю грань. Например, таково множество .

2) Если существует максимальный элемент множества Х, то он совпадает с .

3)  Если множество Х не ограничено сверху, то , если Х не ограничено снизу, то .

Теорема о существовании точной верхней грани Если множество Х  ограничено сверху, то оно имеет, причем единственную, точную верхнюю грань.

 

 

Натуральные, рациональные, иррациональные числа

О. Множество М называется индуктивным, если

.

О. Множество натуральных чисел – это наименьшее индуктивное множество, содержащее 1. Обозначается N .

О. Множество целых чисел – это множество

Z N .

О. Множество рациональных чисел – это множество

Q целое, натуральное .

Числа, которые не являются рациональными, называются иррациональными.

Любое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Например, . Иррациональное число – это всегда бесконечная непериодическая десятичная дробь.

 

 

2 Числовые последовательности

Определения

Функцией называется правило (закон), по которому каждому элементу множества Х ставится в соответствие единственный элемент множества Y.

Обозначается  или . Множество Х при этом называется областью определения, а множество Y – областью значений.

Последовательность – это функция, область определения которой есть множество   N всех натуральных чисел.

 – n -ый член последовательности, номер члена .

 

Примеры .

 

О. Последовательность называется ограниченной сверху, если

: .

О. Последовательность называется ограниченной снизу, если

: .

О. Последовательность называется ограниченной, если

: .

О. Последовательность называется возрастающей с номера , если                                 .

  О. Последовательность называется убывающей с номера , если

.

 

Предел последовательности

О. Число а называется пределом последовательности , если

.

Обозначается .

окрестностью  точки а называется симметричный интервал . Следующие записи равносильны:

.

Это значит, для любой окрестности точки а существует такой номер , что все члены последовательности с номерами, большими, чем этот, принадлежат этой окрестности, т.е.

.

 

Пример 1   , так как

(квадратные скобки означают целую часть числа).

 

Если существует , то говорят, что последовательность    сходится, в противном случае –   расходится.

 

Пример 2  Последовательность   не имеет предела, так как нет такого числа, в окрестности которого находились бы все члены этой последовательности, начиная с некоторого номера.

 

 

Предел функции в точке

Определение предела по Коши

Напомним, что окрестностью точки a называется множество

.

Если из этого множества удалить точку a, то получим проколотую окрестность .

 

О. Число А называется пределом функции  в точке a, если

,

то есть для  найдется такое , что для , отличающегося от a меньше, чем на , и не равного a, выполняется неравенство .

Пишут .

На языке окрестностей  означает, что

.

Пример 1

 

Решение. Здесь . Нужно доказать, что

.

Действительно, , если . Т. о.,

.

 

Пример 2

Решение. , , если взять .

Значит, .

 

Теорема  Если функция  имеет предел в точке a, то он − единственный.

 

Доказательство. Допустим,  и , причем  для определенности будем считать, что .

Возьмем непересекающиеся окрестности точек  и . Так как , то для . Т. к. , то для .

Рассмотрим . Тогда  и . Противоречие. ■

 

Различные типы пределов

а) Односторонние пределы.

О. Число  называется пределом слева функции  в точке a  и обозначается , если

.

Аналогично   означает, что

.

Пределы слева и справа называются односторонними.

Обозначаются также  и .

б) Бесконечные пределы в конечной точке.

, если .

Например, .

 

в) Предел в бесконечности.

, если .

Например, .

 

Предел монотонной функции

О.   Функция называется возрастающей на множестве Х, если

.

О.   Функция называется неубывающей на множестве Х, если

.

О.   Функция называется убывающей на множестве Х, если

.

О.   Функция называется невозрастающей на множестве Х, если

.

 

Теорема 1 Для того, чтобы неубывающая функция  имела предел при или , необходимо и достаточно, чтобы функция  была ограничена на   Х  сверху.

 

Теорема 2 Для того, чтобы невозрастающая функция  имела предел при или , необходимо и достаточно, чтобы функция  была ограничена на   Х  снизу.

 

Бесконечно малые функции

О. Если , то функцию  называют бесконечно малой при

 

Свойства бесконечно малых функций

1) Сумма конечного числа б.м. функций при  есть б.м. функция при

2) Произведение б.м. функции на ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки a функцию есть б.м. функция при

3) Произведение конечного числа б.м. функций при  есть б.м. функция при

 

Первый замечательный предел

Теорема .

 

Второй замечательный предел

Сделав в последнем пределе замену , получим

.

Утверждение  Если  и , то

.

 

Пример 1   .

 

Пример 2 .

 

В последнем примере при   получим .

 

4 Непрерывные функции

Определение

О. Функция  называется непрерывной в точке а, если она определена в некоторой окрестности этой точки и .

То есть  непрерывна в точке а, если: 1)  определена в некоторой ; 2) ; 3) .

На языке  это определение можно записать в виде:

или

.

 

О. Функция  называется непрерывной слева в точке а, если она определена на  и .

О. Функция  называется непрерывной справа в точке а, если она определена на  и .

 

 

Точки разрыва

О. Точка а называется точкой разрыва функции , если в этой точке функция  не является непрерывной.

Т.е. а − точка разрыва функции , если выполняется одно из условий: 1)  не определена в точке а; 2) не существует ;

3) .

 

О. Пусть точка а − точка разрыва функции . Если в этой точке существуют конечные пределы слева и справа, но они не равны, то точка а называется точкой разрыва I рода функции .

О. Если , то точка а называется устранимой точкой разрыва функции .

О. Если в точке а хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен, то точка а – точка разрыва II рода функции .

 

Примеры 1)  точка разрыва I рода;

2)  –устранимая точка разрыва, т.к. , по теореме о произведении б.м. функции на ограниченную;

3)  – точка разрыва II рода, т.к. ;

4)  – точка разрыва II рода, т.к.  не существует.

 

Производная функции в точке

5.1 Определение. Физический и геометрический смысл производной

Пусть  – путь,  пройденный  материальной  точкой  за  время   t. Тогда средняя  скорость  материальной  точки  за  промежуток  есть величина, равная .

Тогда  мгновенная скорость движения материальной точки в момент времени .

Обозначим – приращение аргумента х,

– приращение функции , соответ-ствующее приращению .

О. Производной функции в точке  называется число (если оно существует), равное пределу отношения приращения функции в точке  к приращению аргумента при условии, что  и обозначается , т. е. .

 

Механический смысл производной. Если х – время,  – путь, пройденный материальной точкой за время х, то  – это скорость движения в момент времени  или  –мгновенная скорость изменения функции  в момент времени .

Геометрический смысл производной. – это тангенс угла наклона секущей, проходящей через точки с координатами  и .

При – тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции  в точке .

Если уравнение касательной, то .

Уравнение касательной: .

 

  Примеры   1) .

, т. е. производная постоянной функции равна  0.

2) . Покажем, что . Действительно,

.

3) .

 т. е. .

Теорема Если  имеет производную в точке , то  непрерывна в точке .

 

Замечание. Если  разрывна в точке , то она не имеет производной в точке .

 

По аналогии с односторонними пределами вводятся понятия односторонних производных:

,  – правосторонняя и левосторонняя производные функции  в точке .

 

Пример . Найти односторонние производные.

 

Решение. ,

                 .

Так как односторонние производные не равны, то  не имеет производной в точке .

 

Дифференциал функции

Пусть функции  определена в некоторой окрестности точки .

О. Функция  называется дифференцируемой в точке , если её приращение в точке  представимо в виде:

,

где А – постоянная, не зависящая от  (но зависящая от ), а функция  при .

Слагаемое  называется дифференциалом функции  в точке  и обозначается  или . Дифференциал – это главное линейная часть приращения функции. Тогда , .

 

Теорема  Функция  дифференцируема в точке  тогда, и только тогда, когда она имеет производную в точке . При этом

.

 

Обычно обозначают  и пишут .

 

 

Правила дифференцирования

Теорема 1 Если функции  и  дифференцируемы в точке , то в этой точке дифференцируемы функции

 (если ),

причем 1) ,

                2) ,

               3) , .

 

 

Следствие , где .

 

Теорема 3 (дифференцирование сложной функции) Если  дифференцируема в точке ,  дифференцируема в точке , то сложная функция  дифференцируема в точке , причем .

 

Таблица производных от основных элементарных функций

1)

2) , , ,

3) ,

4) ,

5) , 6)

7) , 8)

 9) , 10)

11) , 12)

13) , 14)

15) , 16)

 

Точки локального экстремума

О. Функция  имеет в точке   локальный максимум, если существует такая окрестность  точки , что

.

О.  – точка строгого локального максимума, если

.

О. Функция  имеет в точке   локальный минимум, если существует такая окрестность  точки , что

.

О.  – точка строгого локального максимума, если

.

Локальный максимум и локальный минимум объединяются названием локальный экстремум.

 

Теорема Ферма

 

Теорема Ферма Если  имеет в точке  локальный экстремум и дифференцируема в этой точке, то .

 

Геометрический смысл теоремы Ферма: касательная к графику функции  в точке локального экстремума параллельна оси Ох.

 

Теорема Ролля

 

Теорема Ролля (о нулях производной)  Если  непрерывна на отрезке   , принимает в концах этого отрезка равные значения  и дифференцируема на интервале , то существует точка , в которой .

 

Геометрический смысл теоремы Ролля: при условиях теоремы Ролля существует точка , в которой касательная к графику функции  параллельна оси Ох.

 

6.4 Формула Лагранжа конечных приращений.

 

Теорема Лагранжа  Если  непрерывна на отрезке    и дифференцируема на интервале , то существует такая точка , что .

 

Геометрический смысл теоремы Лагранжа:    , в которой касательная к графику функции  параллельна секущей, соединяющей точки  и .

 

Следствия 1)Если функция  дифференцируема на интервале  и , то  на .

2) Если  на , то  не убывает на .

Если  на , то  не возрастает на .

3) Если две непрерывные функции имеют одинаковые производные, то они отличаются на , т.е. .

 

 

Правило Лопиталя

Теорема 1 Пусть  и  дифференцируемы на интервале , , ,  и существует конечный или бесконечный . Тогда  тоже существует и равен А, т.е. .

 

 

Замечание. Утверждение теоремы справедливо и при , и при , и при .

 

Теорема 2 Пусть 1)  и  дифференцируемы при , причем  при ;

2) , ;

3) существует конечный .

 Тогда существует .

 

Замечание. Правило Лопиталя служит для раскрытия неопреде-ленностей вида  и . Иногда к этим неопределенностям удается свести неопределенности .

 

 

Экстремумы функции

О. Точки, в которых , называются стационарными.

О. Точки, в которых  непрерывна, а  или не существует, называются критическими

Из теоремы Ферма следует, что если  точка экстремума, то . Поэтому точки экстремума следует искать среди критических точек.

Однако не всякая критическая точка является точкой экстремума. Например, для , но  не является точкой экстремума.

 

Теорема (I достаточное условие строгого экстремума) Пусть  дифференцируема  в  некоторой   и  непрерывна  в  точке . Тогда 1) если  меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку , т.е. , а , то – точка строгого локального минимума функции ;

2) если  меняет знак с плюса на минус при переходе через точку , то – точка строгого локального максимума функции .

 

 

Выпуклость функции

О. Функция  называется выпуклой вверх на отрезке , если  выполняется неравенство: .

То есть для любых двух точек  и