Свойства пределов функции в точке

Свойство1 Если  имеет предел в точке a, то существует такая проколотая окрестность точки a, в которой эта функция ограничена.

 

Свойство2 Если  и , то существует такая проколотая окрестность точки a, в которой  имеет тот же знак, что и число А.

 

 

Свойства, связанные с арифметическими операциями

Если  и , то

1) ;

2) ;

3) , при условии, что .

Частный случай второй формулы: ,  – постоянная.

 

Свойства, связанные с неравенствами

 

1) Если   и

, то .

2) Если , то .

3) Если , то .

 

Предел монотонной функции

О.   Функция называется возрастающей на множестве Х, если

.

О.   Функция называется неубывающей на множестве Х, если

.

О.   Функция называется убывающей на множестве Х, если

.

О.   Функция называется невозрастающей на множестве Х, если

.

 

Теорема 1 Для того, чтобы неубывающая функция  имела предел при или , необходимо и достаточно, чтобы функция  была ограничена на   Х  сверху.

 

Теорема 2 Для того, чтобы невозрастающая функция  имела предел при или , необходимо и достаточно, чтобы функция  была ограничена на   Х  снизу.

 

Бесконечно малые функции

О. Если , то функцию  называют бесконечно малой при

 

Свойства бесконечно малых функций

1) Сумма конечного числа б.м. функций при  есть б.м. функция при

2) Произведение б.м. функции на ограниченную в некоторой проколотой окрестности точки a функцию есть б.м. функция при

3) Произведение конечного числа б.м. функций при  есть б.м. функция при

 

Замена переменной при вычислении предела (или предел композиции функций)

Теорема Если  и , причем для любого х из некоторой проколотой окрестности точки a , то в точке a существует предел сложной функции  и справедливо равенство: .

 

Первый замечательный предел

Теорема .

 

Второй замечательный предел

Сделав в последнем пределе замену , получим

.

Утверждение  Если  и , то

.

 

Пример 1   .

 

Пример 2 .

 

В последнем примере при   получим .

 

4 Непрерывные функции

Определение

О. Функция  называется непрерывной в точке а, если она определена в некоторой окрестности этой точки и .

То есть  непрерывна в точке а, если: 1)  определена в некоторой ; 2) ; 3) .

На языке  это определение можно записать в виде:

или

.

 

О. Функция  называется непрерывной слева в точке а, если она определена на  и .

О. Функция  называется непрерывной справа в точке а, если она определена на  и .

 

 

Точки разрыва

О. Точка а называется точкой разрыва функции , если в этой точке функция  не является непрерывной.

Т.е. а − точка разрыва функции , если выполняется одно из условий: 1)  не определена в точке а; 2) не существует ;

3) .

 

О. Пусть точка а − точка разрыва функции . Если в этой точке существуют конечные пределы слева и справа, но они не равны, то точка а называется точкой разрыва I рода функции .

О. Если , то точка а называется устранимой точкой разрыва функции .

О. Если в точке а хотя бы один из односторонних пределов не существует или бесконечен, то точка а – точка разрыва II рода функции .

 

Примеры 1)  точка разрыва I рода;

2)  –устранимая точка разрыва, т.к. , по теореме о произведении б.м. функции на ограниченную;

3)  – точка разрыва II рода, т.к. ;

4)  – точка разрыва II рода, т.к.  не существует.