Точные грани числовых множеств

Пусть .

О. Множество Х  называется ограниченным сверху, если

: .

Число с называется верхней гранью множества Х.

О. Множество   Х  называется ограниченным снизу, если

: .

 Число   называется нижней гранью множества Х.

О. Множество Х называется ограниченным, если оно ограничено и сверху, и снизу, т.е. : .

 

Утверждение  Множество Х ограничено тогда, и только тогда, когда :   .

 

О. Максимальным элементом множества Х  называется такое число а, что : .

О. Минимальным элементом множества Х  называется такое число а, что : .

О. Множество Х  называется не ограниченным сверху, если

: : .

О. Множество Х  называется не ограниченным снизу, если

: : .

О. Множество Х называется неограниченным, если оно не ограничено сверху или не ограничено снизу.

 

О. Точная верхняя грань – это наименьшая из всех верхних граней, т.е.  (супремум), если

1) ;   2) .

Или .

О. Точная нижняя грань – это наибольшая из всех нижних граней, т.е.  (инфинум), если

1) ;   2) .

Или .

 

Замечание. 1) Множество может не иметь максимального элемента, но иметь точную верхнюю грань. Например, таково множество .

2) Если существует максимальный элемент множества Х, то он совпадает с .

3)  Если множество Х не ограничено сверху, то , если Х не ограничено снизу, то .

Теорема о существовании точной верхней грани Если множество Х  ограничено сверху, то оно имеет, причем единственную, точную верхнюю грань.

 

 

Натуральные, рациональные, иррациональные числа

О. Множество М называется индуктивным, если

.

О. Множество натуральных чисел – это наименьшее индуктивное множество, содержащее 1. Обозначается N .

О. Множество целых чисел – это множество

Z N .

О. Множество рациональных чисел – это множество

Q целое, натуральное .

Числа, которые не являются рациональными, называются иррациональными.

Любое рациональное число можно представить в виде конечной или бесконечной периодической десятичной дроби. Например, . Иррациональное число – это всегда бесконечная непериодическая десятичная дробь.

 

 

2 Числовые последовательности

Определения

Функцией называется правило (закон), по которому каждому элементу множества Х ставится в соответствие единственный элемент множества Y.

Обозначается  или . Множество Х при этом называется областью определения, а множество Y – областью значений.

Последовательность – это функция, область определения которой есть множество   N всех натуральных чисел.

 – n -ый член последовательности, номер члена .

 

Примеры .

 

О. Последовательность называется ограниченной сверху, если

: .

О. Последовательность называется ограниченной снизу, если

: .

О. Последовательность называется ограниченной, если

: .

О. Последовательность называется возрастающей с номера , если                                 .

  О. Последовательность называется убывающей с номера , если

.

 

Предел последовательности

О. Число а называется пределом последовательности , если

.

Обозначается .

окрестностью  точки а называется симметричный интервал . Следующие записи равносильны:

.

Это значит, для любой окрестности точки а существует такой номер , что все члены последовательности с номерами, большими, чем этот, принадлежат этой окрестности, т.е.

.

 

Пример 1   , так как

(квадратные скобки означают целую часть числа).

 

Если существует , то говорят, что последовательность    сходится, в противном случае –   расходится.

 

Пример 2  Последовательность   не имеет предела, так как нет такого числа, в окрестности которого находились бы все члены этой последовательности, начиная с некоторого номера.