Возрастание и убывание функций

Теорема 1 (критерий возрастания дифференцируемой на интервале функции) Для того, чтобы дифференцируемая на интервале  функция  была возрастающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы .

 

Теорема 2 (критерий убывания дифференцируемой на интервале функции) Для того, чтобы дифференцируемая на интервале  функция  была убывающей на этом интервале, необходимо и достаточно, чтобы .

 

Теорема 3 (достаточное условие строгого возрастания (убывания) функции) Если , то  строго возрастает на интервале . Если , то  строго убывает на интервале .

 

Теорема 4 Если  непрерывна на отрезке , дифферен-цируема на интервале  и  для , то  строго возрастает на .

 

Экстремумы функции

О. Точки, в которых , называются стационарными.

О. Точки, в которых  непрерывна, а  или не существует, называются критическими

Из теоремы Ферма следует, что если  точка экстремума, то . Поэтому точки экстремума следует искать среди критических точек.

Однако не всякая критическая точка является точкой экстремума. Например, для , но  не является точкой экстремума.

 

Теорема (I достаточное условие строгого экстремума) Пусть  дифференцируема  в  некоторой   и  непрерывна  в  точке . Тогда 1) если  меняет знак с минуса на плюс при переходе через точку , т.е. , а , то – точка строгого локального минимума функции ;

2) если  меняет знак с плюса на минус при переходе через точку , то – точка строгого локального максимума функции .

 

 

Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

По теореме Вейерштрасса, если  непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существуют такие точки, в которых  достигает свои максимальное и минимальное значения. Если  имеет в точках  локальные экстремумы, то её максимальное и минимальное значения находятся среди чисел .

 

Выпуклость функции

О. Функция  называется выпуклой вверх на отрезке , если  выполняется неравенство: .

То есть для любых двух точек  и  графика функции  середина хорды  лежит ниже соответствующей точки графика.

О. Функция  называется выпуклой вниз на отрезке , если  выполняется неравенство: .

 

Теорема (достаточное условие выпуклости) Пусть  существует на отрезке , а  – на интервале . Тогда

а) если , то  выпукла вниз на отрезке ; б) если , то  выпукла вверх на отрезке .

 

Замечание. а) если , то  строго выпукла вниз на отрезке ; б) если , то  строго выпукла вверх на .

 

 

Точки перегиба

О. Пусть    непрерывна в точке  и имеет в этой точке конечную или бесконечную производную. Тогда если  при переходе через точку  меняет направление выпуклости, т.е.  такое, что на одном из интервалов ,  она выпукла вверх, а на другом выпукла вниз, то  называется точкой перегиба функции .

Например, для   – точка перегиба.

 

Теорема (необходимое условие точки перегиба) Если  точка перегиба функции  и  в некоторой окрестности , непрерывная в точке , то .

 

Теорема (достаточное условие точки перегиба) Если  непрерывна в точке , имеет  в точке  и при переходе через точку  меняет знак, то  – точка перегиба функции .

 

Асимптоты

О. Если  или , то прямая  называется вертикальной асимптотой графика функции .

Например, для функций  прямая   –вертикальная асимптота, для функции  прямые являются вертикальными асимптотами.

Вертикальные асимптоты следует искать в точках разрыва функции  или в граничных точках области определения.

 

О. Прямая  называется асимптотой  графика функции  при , если .

Если , то асимптота называется наклонной.

Если , то асимптота   называется горизонтальной.

Например, для функций  прямая  –горизонтальная асимптота, для функции  прямые являются горизонтальными асимптотами.

 

Теорема Прямая  является асимптотой графика функции  при  тогда, и только тогда, когда существуют и конечны оба предела:   и .

 

Схема исследования функции

1) Найти область определения функции . Выяснить, является ли функция четной, нечетной, периодической.

2) Найти точки пересечения графика функции с осями координат и промежутки знакопостоянства (т.е. промежутки, на которых  и ).

3) Найти асимптоты графика функции. Найти односторонние пределы в точках разрыва и граничных точках области определения.

4) Вычислить производную функции. Найти промежутки возрастания и убывания, экстремумы функции.

5) Вычислить вторую производную функции. Найти промежутки выпуклости вверх и вниз, точки перегиба.

6) Изобразить график функции.