Свойства функций, непрерывных в точке (локальные свойства непрерывных функций)

 Если  непрерывна в точке а, то она ограничена в некоторой окрестности точки а, т. е.  и .

 Если  непрерывна в точке а, причем , то существует такая окрестность точки а, в которой знак функции  совпадает со знаком числа .

 Если  и  непрерывны в точке а, то функции , ,  (при условии, что ) непрерывны в точке а.

  Теорема (непрерывность сложной функции) Если функция  непрерывна в точке , функция  непрерывна в точке , то в некоторой окрестности точки  определена сложная функция , которая непрерывна в точке . 

  

 

Свойства функций, непрерывных на отрезке (глобальные свойства непрерывных функций)

1. Ограниченность непрерывной на отрезке функции.

Теорема 1 (Вейерштрасса) Если функция  непрерывна на отрезке , то она ограничена на нём, т. е. .

 

Замечание.  Теорема неверна на промежутках, не являющихся отрезками. Например, непрерывна на , но не ограничена на нём; функция непрерывна на R, но не ограничена на R.

 

2. Достижение точных граней.

Теорема 2 (Вейерштрасса) Если функция  непрерывна на отрезке , то она достигает своих точной верхней и точной нижней граней, т.е.

 и

 

3. Промежуточные значения непрерывной функции.

Теорема (Коши о нулях непрерывной функции)Если функция  непрерывна на отрезке  и принимает в его концах значения разных знаков, то существует точка   такая, что .

 

Замечание.  Теорема Коши о нулях непрерывной функции утверждает, что график непрерывной функции, принимающеё на концах отрезка значения разных знаков, пересекает ось Ox хотя бы в одной точке отрезка .

 

Теорема (Коши о промежуточных значениях)Если функция  непрерывна на отрезке   и , то для   найдется такая точка , что .

 

Следствие Если функция  непрерывна на отрезке , , , то множество значений, принимаю-щих функцией на отрезке , есть отрезок .

 

4. Существование и непрерывность функции, обратной к непрерывной.

 

Теорема Если функция  непрерывна и строго возрастает на отрезке , то на отрезке  определена функция , обратная к , непрерывная и строго возрастающая.

 

Примеры 1) Так как функция  непрерывна и возрастает на , то на  определена обратная функция , которая непрерывна на  и строго возрастает.

2) функция  строго возрастает и непрерывна на . Значит, на R определена, возрастает и непрерывна обратная функция .

 

 

Производная функции в точке

5.1 Определение. Физический и геометрический смысл производной

Пусть  – путь,  пройденный  материальной  точкой  за  время   t. Тогда средняя  скорость  материальной  точки  за  промежуток  есть величина, равная .

Тогда  мгновенная скорость движения материальной точки в момент времени .

Обозначим – приращение аргумента х,

– приращение функции , соответ-ствующее приращению .

О. Производной функции в точке  называется число (если оно существует), равное пределу отношения приращения функции в точке  к приращению аргумента при условии, что  и обозначается , т. е. .

 

Механический смысл производной. Если х – время,  – путь, пройденный материальной точкой за время х, то  – это скорость движения в момент времени  или  –мгновенная скорость изменения функции  в момент времени .

Геометрический смысл производной. – это тангенс угла наклона секущей, проходящей через точки с координатами  и .

При – тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции  в точке .

Если уравнение касательной, то .

Уравнение касательной: .

 

  Примеры   1) .

, т. е. производная постоянной функции равна  0.

2) . Покажем, что . Действительно,

.

3) .

 т. е. .

Теорема Если  имеет производную в точке , то  непрерывна в точке .

 

Замечание. Если  разрывна в точке , то она не имеет производной в точке .

 

По аналогии с односторонними пределами вводятся понятия односторонних производных:

,  – правосторонняя и левосторонняя производные функции  в точке .

 

Пример . Найти односторонние производные.

 

Решение. ,

                 .

Так как односторонние производные не равны, то  не имеет производной в точке .

 

Дифференциал функции

Пусть функции  определена в некоторой окрестности точки .

О. Функция  называется дифференцируемой в точке , если её приращение в точке  представимо в виде:

,

где А – постоянная, не зависящая от  (но зависящая от ), а функция  при .

Слагаемое  называется дифференциалом функции  в точке  и обозначается  или . Дифференциал – это главное линейная часть приращения функции. Тогда , .

 

Теорема  Функция  дифференцируема в точке  тогда, и только тогда, когда она имеет производную в точке . При этом

.

 

Обычно обозначают  и пишут .

 

 

Правила дифференцирования

Теорема 1 Если функции  и  дифференцируемы в точке , то в этой точке дифференцируемы функции

 (если ),

причем 1) ,

                2) ,

               3) , .

 

 

Следствие , где .

 

Теорема 3 (дифференцирование сложной функции) Если  дифференцируема в точке ,  дифференцируема в точке , то сложная функция  дифференцируема в точке , причем .

 

Таблица производных от основных элементарных функций

1)

2) , , ,

3) ,

4) ,

5) , 6)

7) , 8)

 9) , 10)

11) , 12)

13) , 14)

15) , 16)