Подпоследовательности. Частичные пределы

Пусть задана последовательность .

О. Рассмотрим строго возрастающую последовательность  натуральных чисел . Тогда последовательность  называют подпоследовательностью последовательности .

О. Если существует предел подпоследовательности , то он называется частичным пределом.

О. Если обозначить  – множество всех частичных пределов, то  называется верхним пределом и обозначается ,  называется нижним пределом и обозначается .

Если  не ограничена сверху, то . Если  не ограничена снизу, то .

 

Утверждение 1 Если последовательность имеет предел, то любая её подпоследовательность сходится к тому же пределу.

Утверждение Число а является частичным пределом тогда, и только тогда, когда в любой окрестности точки а содержится бесконечно много членов последовательности. (Доказать)

 

Критерий Коши сходимости последовательности

O. Последовательность  называется фундаментальной, если

.

 

Теорема (критерий Коши) Числовая последовательность сходится тогда, и только тогда, когда она является фундаментальной.

 

Предел функции в точке

Определение предела по Коши

Напомним, что окрестностью точки a называется множество

.

Если из этого множества удалить точку a, то получим проколотую окрестность .

 

О. Число А называется пределом функции  в точке a, если

,

то есть для  найдется такое , что для , отличающегося от a меньше, чем на , и не равного a, выполняется неравенство .

Пишут .

На языке окрестностей  означает, что

.

Пример 1

 

Решение. Здесь . Нужно доказать, что

.

Действительно, , если . Т. о.,

.

 

Пример 2

Решение. , , если взять .

Значит, .

 

Теорема  Если функция  имеет предел в точке a, то он − единственный.

 

Доказательство. Допустим,  и , причем  для определенности будем считать, что .

Возьмем непересекающиеся окрестности точек  и . Так как , то для . Т. к. , то для .

Рассмотрим . Тогда  и . Противоречие. ■

 

Определение предела по Гейне

О. Число А называется пределом функции  в точке a, если для любой последовательности , сходящейся к точке a, и такой, что , следует, что последовательность соответствующих значений функции  сходится к числу А.

 

Т.е.  и  при .

 

Пример  не существует.

 

Решение.   Для доказательства достаточно указать две последова-тельности, сходящиеся к нулю, такие, что соответствующие значения функции стремятся к различным числам.

Возьмем  при .

Но .

 

Теорема Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.  

 

Различные типы пределов

а) Односторонние пределы.

О. Число  называется пределом слева функции  в точке a  и обозначается , если

.

Аналогично   означает, что

.

Пределы слева и справа называются односторонними.

Обозначаются также  и .

б) Бесконечные пределы в конечной точке.

, если .

Например, .

 

в) Предел в бесконечности.

, если .

Например, .