Нелинейностью. Исключение секулярных членов

 

Поскольку в правильном решении свободного нелинейного осциллятора секулярных членов появляться не должно, необходимо разработать такую процедуру решения уравнения, когда в каждом приближении подобные члены из решения исключаются. Построение процедуры рассмотрим на примере осциллятора с кубической нелинейностью.

Уравнение для осциллятора с кубической нелинейностью получается из общего уравнения (2.4), если в правой части сохранить только первый и третий члены

.                         (3.7)

Если бы мы воспользовались разложением, аналогичным (3.2), то пришли к системе уравнений

                    (3.8)

 

Решение порождающего (первого) уравнения при начальных условиях (3.3а) по-прежнему записывается в форме x ⁽⁰⁾ =
A ₀cosw₀ t. Второе же уравнение после подстановки х ⁽⁰⁾ приоб-ретает вид

.

 

Таким образом, мы пришли к уравнению колебаний с периодической вынуждающей силой, одна из частот которой совпадает с частотой свободных линейных колебаний. Поэтому при t ® ¥, x ⁽¹⁾ ® ¥ и принятый метод решения не приводит к успеху. Недостаток метода состоит в том, что частота в нулевом приближении принимается равной частоте линейной задачи w = w₀. Как следствие и в последующих приближениях правые части содержат функции с кратными частотами w = n w₀. Таким образом, делается попытка построить решение с периодом линейной задачи
Т ₀ = 2p¤w₀. В действительности в нелинейных системах, если и возможны периодические решения, их период не совпадает с периодом Т ₀, а зависит от параметра нелинейности e₁. Именно это противоречие и приводит к возникновению резонансных членов в правых частях уравнений (3.8). Чтобы избежать появления секулярных членов, будем поэтому искать не только решение х в виде ряда по малому параметру, но и частоту w:

                          (3.9)

или

С учетом (3.9) уравнение (3.7) принимает вид

 

 

Приравнивая к нулю выражения при каждой степени e₁, по-лучим

                    (3.10)

 

Система (3.10) отличается от (3.8) тем, что w соответствует периоду нелинейных колебаний и находится в процессе решения, а не является заданной величиной. В последующих приближениях правые части периодичны с тем же периодом Т = 2p¤w. Таким образом, строится согласованное решение.

Как и в случае квадратичной нелинейности, будем строить решение с начальными данными х (0) = А, (0) = 0. Этому условию будет удовлетворять система данных

                 (3.11)

 

Первое уравнение (нулевое приближение) системы (3.10) с начальными данными (3.11) имеет решение

                        (3.12)

 

а второе уравнение (первое приближение) принимает вид

 

 

(3.13)

 

Условием отсутствия резонанса является равенство нулю коэффициента при cos w t. Из этого условия следует, что

.                                (3.14)

Частное решение уравнения (3.13) в этом случае имеет вид

,

а общее решение уравнения первого приближения можно записать так:

,

где в силу начальных условий (3.11) B ₁ = 0, .

Искомое решение уравнения (3.7) с точностью до членов первого порядка  определяется тогда соотношениями

,

.                                (3.15)

Из (3.15) следует, что если частота свободных линейных колебаний не зависит от амплитуды колебаний, то частота свободных колебаний нелинейной системы определяется как свойствами системы, так и амплитудой. В частности, например, частота колебаний математического маятника будет определяться величиной начального угла отклонения от положения равновесия.