В разреженном газе уравнение состояния имеет вид

или ,                    (13.4)

 

где  – так называемая газовая постоянная. Разреженный газ называется также идеальным в отличие от неидеального плотного газа, поскольку взаимодействие молекул не учитывается при написании уравнения состояния (13.4).

В некоторых случаях, например в изотермических процессах, уравнения состояния (13.4) упрощаются и принимают вид

.                                  (13.5)

Такое уравнение состояния называется уравнением состояния баротропного газа. Частным случаем этого уравнения состояния является уравнение состояния политропного газа

,                                  (13.6)

где С – некоторая константа, а  – постоянное число – показатель политропы. Подобное уравнение можно записать и для адиабатических процессов.

В плотном газе зависимость давления от плотности и температуры перестает быть линейной (см. уравнение (13.4)). Характер уравнения состояния, вообще говоря, зависит от данного газа и не является универсальным. Однако для широкого класса газов можно использовать так называемое уравнение Ван-дер-Ваальса, которое имеет вид

.

Входящие в это уравнение постоянные  и  определяются свойствами молекул газа.

 

 

Распространение малых возмущений в газе.

Скорость звука

 

Рассмотрим распространение малых возмущений в покоящемся газе. Параметры такого возмущенного движения определяются соотношениями

, ,

где штрихом отмечены возмущенные значения скорости, давления и плотности, а индекс нуль соответствует их невозмущенным значениям. Будем далее предполагать возмущения малыми, т. е.

.

Переходя к переменным  и линеаризуя уравнения (13.2), в первом приближении получаем

,   (13.7)

где мы ввели скорость звука в газе, определяемую соотношением . Из последнего уравнения этой системы легко можно исключить скорость с помощью уравнения сохранения импульса (второго уравнения системы (13.7)). В результате для определения давления получаем волновое уравнение

.                            (13.8)

 

Таким образом, эволюция малых возмущений давления (и, как легко установить, скорости и плотности) управляется волновым уравнением, и скорость распространения этого возмущения равна скорости звука.

Волновое уравнение (13.8) допускает две группы решений. Рассмотрим для простоты одномерное распространение возмущений. Тогда эти решения можно представить так:

, ,

и

, , .

 

Первая группа описывает возмущения, распространяющиеся в положительном направлении оси , а другая – в отрицательном. Общее решение указанных волновых уравнений складывается из двух частных, соответствующих указанным двум волнам:

,

,

.

 

Типичные для акустики в газе монохроматические звуковые волны описываются функциями вида

                        (13.9)

 

(  – частота звука, а  – длина звуковой волны).

Человеческое ухо воспринимает звуки с частотами от 20 до
20 000 Гц, что соответствует длинам волн от 15 м до 1,5 см.

 

 

Ударные волны

 

Рассмотрим простую задачу об эволюции покоящегося газа с постоянными плотностью и давлением  в области, ограниченной слева поршнем, а сверху и снизу – твердыми поверхностями (рис. 13.1). В некоторый начальный момент времени поршень начинает двигаться в положительном направлении оси . Оказывается, эта задача не имеет непрерывного решения. Под действием движущегося поршня возникает так называемая ударная волна. При описании в рамках уравнений Эйлера газодинамические параметры течения терпят разрыв. Перед фронтом

 

 

Рис. 13.1. Простейшая механическая модель,

в которой реализуется волна

ударной волны газ покоится, а его плотность равна . За фронтом ударной волны скорость газа равна скорости движения поршня , плотность равна , давление . Течение происходит так, что соотношения параметров перед и за ударной волной определяются законами сохранения, которые можно получить непосредственно из уравнений Эйлера. Чтобы убедиться в этом, будем исходить непосредственно из законов сохранения массы, импульса и энергии[40]:

, 

,                              (13.10)

.

 

Предположим сначала, что разрыв – тонкий слой конечной толщины, и проинтегрируем, например, уравнение неразрывности по этому слою от некоторого  до :

,                    (13.11)

 

а затем перейдем к пределу . Тогда, поскольку интеграл в левой части пропорционален разности , он стремится к нулю и интегрирование выражения (13.11) дает

 

.

 

Аналогично получаются два других закона сохранения:

,

.

 

Полученное решение оказывается разрывным. На рис. 13.2 в качестве иллюстрации приведен характер изменения плотности газа в ударной волне сжатия. Появление разрывного решения уравнений Эйлера – достаточно странное обстоятельство, так как формулировка уравнений движения в дифференциальной форме предполагает определенную непрерывность фигурирующих в них функций. Это является одним из примеров, когда модель применяется, строго говоря, вне области своего применения и тем не

 

Рис. 13.2. Ударная волна в идеальном газе.

Профиль плотности

 

 

менее неплохо работает. В силу наличия в реальной среде вязкости и теплопроводности ударная волна представляет собой не контактный разрыв, а слой конечной толщины, причем характерная толщина ударной волны порядка длины свободного пробега молекул газа (см. рис 13.3, на котором представлена зависимость безразмерного профиля ударной волны  от расстояния , где  – средняя длина свободного пробега молекул газа). Описать структуру ударной волны не удается и в рамках уравнений Навье – Стокса, поскольку толщина ударной волны порядка длины свободного пробега молекул газа, а на этих масштабах уравнения гидродинамики неприменимы.

 

Рис. 13.3. Профиль ударной волны (распределение

плотности) в реальном газе

 

 

Уравнения (13.2) так же, как уравнения Гамильтона, обратимые уравнения. В них отсутствует диссипация, поэтому они применимы в тех случаях, когда диссипативные эффекты не являются принципиальными на тех временах и пространственных масштабах, на которых данные процессы или явления исследуются. Вязкое трение особенно важно при соприкосновении газа или жидкости с твердыми поверхностями. Поэтому модель идеальной жидкости непригодна для описания течения в тонких слоях вблизи твердых поверхностей, которые называются пограничными слоями. Однако вне пограничных слоев эти уравнения вполне неплохо описывают различные течения. Их нередко применяют и для описания обтекания твердых поверхностей. Вся теория обтекания тонкого профиля, в которой было дано объяснение действующей на него подъемной силы, была построена Н.Е. Жуковским на основе уравнений Эйлера (13.2). При этом, конечно, приходится использовать некоторые дополнительные аксиомы (типа, например, условия Кутта – Жуковского), чтобы не попасть в сети неизбежно возникающих при использовании уравнений Эйлера парадоксов[41].

…Dum abest qoud avemus, id exsuperare videtur

Cetera; post aliud cum contigit illud avemus,

Et citis aequa tenet[42].

 

Юлий Цезарь