Детерминизм и динамический хаос

До сих пор мы рассматривали очень простые модели реально наблюдаемых природных и технологических процессов. Это были модели с одной или двумя степенями свободы[10]. В общем случае реально моделируемые объекты или явления могут иметь n степеней свободы. В некоторых моделях число степеней свободы оказывается бесконечным. Так обстоит дело, например, при моделировании сплошной среды, жидкости в частности. Подробно об этом мы поговорим ниже, здесь же рассмотрим некоторые характерные особенности поведения одного из самых важных классов современных математических моделей – так называемых динамических систем. Генетически эти модели тесно связаны с моделями тех или иных механических систем, впрочем, практически все математические модели реально наблюдаемого имеют механические истоки. Именно поэтому при их описании обычно используют язык механики. Так же будем поступать и мы.

В этом разделе дадим определение динамической системы, рассмотрим вопрос об устойчивости решений системы уравнений, описывающих динамическую систему, познакомимся с понятием динамического хаоса.

Динамическая система

Итак, пусть состояние рассматриваемой системы в некоторый момент времени  полным образом описывается набором  вещественных переменных

.                   (5.1)

Вектор состояния системы (5.1) меняется со временем, и это изменение характеризуется скоростью

,

которая зависит от самих этих переменных. Закон движения системы поэтому можно представить системой  дифференциальных уравнений первого порядка

            (5.2)

В частности, для системы  взаимодействующих частиц (материальных точек) уравнения их движения даются системой уравнений Ньютона

, ,                     (5.3)

которая эквивалентно может быть представлена в виде системы уравнений первого порядка вида

                (5.3а)

Здесь  – сила, действующая на частицу , а  – ее масса.

Система, динамика которой описывается уравнениями (5.2), и называется динамической системой. Пространство переменных  называется фазовым пространством системы[11]. Движение системы в фазовом пространстве описывается соответствующей траекторией. При некоторых условиях[12] система дифференциальных уравнений (5.2) имеет решение , удовлетворяющее начальному условию

                     (5.2а)

Можно показать, что это решение единственное, поэтому через любую точку фазового пространства системы проходит единственная траектория и эти траектории не пересекаются. Указанное свойство и является характерным признаком детерминированной системы, ее состояние в любой момент времени  единственным образом определяется по начальным данным.

Важно подчеркнуть, что указанная теорема существования, вообще говоря, является локальной и формулируется в некоторой окрестности начального момента , размеры которой определяются свойствами фазового пространства системы.

Под понятие динамической системы попадает очень широкий класс реально встречающихся систем любой природы (физических, химических, биологических, экономических и т.п.). По сути, отличительным признаком динамической системы является изменение во времени (непрерывно или дискретно) ее состояния.