Интервальные оценки генеральной дисперсии и генерального среднего квадратического отклонения

Пусть из генеральной совокупности X, имеющей нормальный распределения с математическим ожиданием  и дисперсией  случайная выборка объемом n. В качестве основы интервальной дисперсии используется статистика S². Интервал, в отличие от генеральной средней, для генеральной дисперсии в общем случае строится несимметричный.

При этом правила построения доверительного интервала для дисперсии зависят от объема используемой при оценивании выборки.

1. Доверительные интервалы для  и  при малых объемах выборки .

Согласно статистике  (2.31), имеющей -распределение Пирсона с v=n-1 степенями свободы, для заданной надежности у:

.

Так как таблица -распределения Пирсона (табл. 3 Приложений) содержит вероятности  можно записать:

.

Таким образом, .

Учитывая, что

,

получаем искомую формулу для интервальной оценки.

Построение доверительного интервала с заданной надежностью у для генеральной дисперсии  при малых объемах выборки   осуществляется по формуле:

;                                              (2.38)

.                                                         (2.39)

Границы интервала , очевидно, определяются из условия (2.37) неоднозначно. Обычно их выбираю так, чтобы одинаковыми были вероятности (рис. 25):

.

 

 

Рис. 25. Построение доверительного интервала для генеральной дисперсии при малом объеме выборки

 

Таким образом, нижнюю и верхнюю границы интервала  находят по таблицам х²-распределения для условий:

,

                                                                                                     (2.40)

.

где х² — случайная величина, имеющая х²-распределение с v=n-1 степенями свободы.

Пример 9.11. Для анализа производительности труда были отобраны 15 работников предприятия. На основании проведенных испытаний была получена оценка S=20 изд./ч. Предполагая, что производительность труда работников подчиняется нормальному закону распределения:

а) определить с надежностью у=0,95 границы доверительного интервала для генеральной дисперсии ;

б) определить доверительную вероятность того, что истинное значение среднего квадратического отклонения заключено в интервале (18 изд./ч; 22 изд./ч).

Решение.

А. Так как объем выборки невелик, при построении доверительного интервала для генеральной дисперсии будем исходить из (2.38):

,

где (2.40)

; .

Для заданной надежности у определим значения  по таблице распределения  для числа степеней свободы v=n-1=15-1=14 (табл. 3 Приложения):

,

откуда границы доверительного интервала для генеральной дисперсии:

;

.

Итак, построенный с надежностью y=0,95 доверительный интервал для генеральной дисперсии  имеет вид:

.

Б. Доверительная вероятность оценки среднего квадратического отклонения определяется из условия (2.38):

.

На основе границ доверительного интервала, данных в условии задачи, определим соответствующие значения :

;

,

откуда по таблицам распределения  для числа степеней свободы

v=n-1-15-1=14 (табл. 3 Приложения) берем ближайшие к полученным значениям и получаем приближенное значение надежности:

;

;

.

Чтобы получить более точные значения вероятностей  и надежности у, необходимо прибегнуть к методу линейной интерполяции при использовании таблицы 3 или воспользоваться компьютерными программами, например, встроенной статистической функцией ППП Microsoft Excel ХИ2РАСП. Тогда точное значение надежности:

;

;

.

2. Доверительный интервал для   и   при достаточно большом объеме наблюдений (п>30).

Учитывая, что статистика  (2.35) при  асимптотически стремится к стандартному нормальному закону N(0;1), свойство стандартной нормальной случайной величины  (1.49), после преобразования:

;

.

Построение доверительного интервала с заданной надежностью у для генерального среднего квадратического отклонения  при достаточно больших объемах выборки (n>30) осуществляется по формуле:

,                                (2.41)

где  — значение нормированной нормальной случайной величины, соответствующее надежности у: .

Если задан доверительный интервал для оценки среднего квадратического отклонения   при большом объеме выборки, то надежность попадания  в заданный интервал определяется из условия:

,

где

,

                                                                                                                 (2.42)

.

Пример 9.12. Решить пример 9.11. при условии, что случайная выборка строится на основе наблюдения за 200 работниками.

Решение.

А. Так как объем выборки большой (n=200), при построении доверительного интервала для генеральной дисперсии будем исходить из формулы (2.41). Для заданной надежности у определим значение  по таблице функции Лапласа (табл. 1 Приложения): , откуда границы доверительного интервала среднего квадратического отклонения производительности труда работников равны

;

.

Итак, построенный с надежностью y=0,95 доверительный интервал для генеральной дисперсии  имеет вид:

Как видно из сравнения с примером 9.11, при увеличении объема выборки ширина доверительного интервала значительно уменьшилась.

Б.

На основе значений границ доверительного интервала определим соответствующие значения  (2.42):

;

.

Откуда по таблица функции Лапласа:

;

.

В результате доверительная вероятность заданного интервала оценивания   среднего квадратического отклонения генеральной совокупности равна: