Проверка значимости генерального коэффициента корреляции

В двумерной модели параметрами связи являются коэффициент корреляции р или его квадрат — коэффициент детерминации .

На практике о тесноте зависимости между случайными переменными приходится судить не на основе истинных параметров связи (генеральных характеристик), а их выборочных аналогов, которые являются случайными величинами. Поэтому возникает вопрос, действительно ли полученные значения объясняется наличием существующей линейной корреляционной зависимостью между переменными X и Y, или являются следствием случайности отбора переменных в выборку.

В двумерной модели достаточно проверить значимость коэффици­ента корреляции, т. е. на уровне значимости  проверить гипотезу : р=0.

Проверка значимости генерального коэффициента корреляции

I способ. С использованием таблицы Фишера—Иейтса (табл. 5 Приложения).

По таблице Фишера—Иейтса для уровня значимости  и числа степеней свободы n—2 находится критическое значение .

Затем сравниваются наблюдаемое значение коэффициента корреляции — выборочный коэффициент корреляции r — с полученным критическим .

Гипотеза отвергается и генеральный коэффициент корреляции считается значимым, если наблюдаемое значение  по абсолютной величине окажется больше критического, т. е. если . В противном случае гипотеза : р=0 не отвергается и генеральный коэффициент корреляции считается незначимым.

II способ. С использованием распределения Стьюдента (табл. 2 Приложения).

Основывается на расчете статистики: , которая при истинности гипотезы : р=0 имеет t-распределение с n – 2 степенями свободы.

Таблица 2.7.

Критерии проверки значимости генерального коэффициента корреляции в двумерной модели

Для значимых параметров связи находят интервальные оценки, которые с заданной надежностью содержат истинные значения параметров.

Пример 12.2. На основе выборки объемом в 50 наблюдений из двумерной генеральной совокупности был получен выборочный коэффициент корреляции . Проверить значимость генерального коэффициента корреляции при .

Решение.

Проверка значимости генерального коэффициента корреляции сводится к проверке гипотезы : р=0 на заданном уровне значимости .

I способ. С использованием таблицы Фишера-Иейтса (табл. 5 Приложения).

В случае использования статистики , критическое значение найдем по таблица Фишера-Иейтса для уровня значимости  и числа степеней свободы n–2=48:

Так как наблюдаемое значение  превосходит ее критическое значение по модулю: |-0,94|>0,304, то гипотеза отвергается с вероятностью ошибки, равной 0,05. Следовательно, коэффициент корреляции р значимо отличается от нуля.

II способ. С использованием распределения Стьюдента (табл. 2 Приложения).

Статистика  при истинности гипотезы : р=0 имеет t-распределение с n – 2 степенями свободы. Для  статистика принимает значение:

По таблицам t-распределения найдем критическое значение t-статистики для уровня значимости  и числа степеней свободы n–2=48:

Так как наблюдаемое значение t-статистики по модулю больше критического значения, то гипотеза о равенстве генерального коэффициента корреляции нулю отверга­ется с вероятностью ошибки, равной 0,05.

Следовательно, коэффициент корреляции р значимо отличается от нуля и между изучаемыми переменными существует линейная корреляционная зависимость.