Проверка гипотез о законе распределения генеральной совокупности

Проверка гипотез о законе распределения значений признака Х в генеральной совокупности осуществляется с помощью критерия согласия.

Критерий согласия – статистический критерий, предназначенный для проверки гипотезы  о том, что ряд наблюдений  образует случайную выборку, извлеченную из генеральной совокупности Х с функцией распределения , где общий вид функции F(x) считается известным, а параметры  могут быть как известными, так и неизвестными. Критерий согласия основан на использовании различных мер расстояний между анализируемой эмпирической функцией  распределения, определенной по выборке, и функцией распределения F(x) генеральной совокупности Х.

Математически нулевую гипотезу можно записать в следующем виде:

,

где ,  – вероятность попадания предполагаемой случайной величины Х в i-й интервал или вероятность принятия ею i-го значения.

Критерий состоит в том, что выбирается некоторая случайная величина (статистика) , являющаяся мерой расхождения (рассогласования) между рядом наблюдений и предполагаемым теоретическим распределением.

При проверке нулевой гипотезы заранее задается уровень значимости . Затем на основании закона распределения  находится такое значение , что .

Критическое значение  обычно получают из таблиц соответствующей функции распределения.

Далее на основании выборки вычисляется наблюдаемая величина .

Наконец, сравниваются два значения:  и . Если , то нулевая гипотеза отвергается. Если же , то нулевая гипотеза не отвергается; в этом случае отклонения от предполагаемого теоретического закона распределения считаются незначимыми, т. е. данные наблюдения не противоречат гипотезе о виде распределения.

Можно осуществлять проверку гипотезы о виде распределения с помощью критерия согласия и в другом порядке. По наблюдаемому значению  определить, пользуясь соответствующей таблицей, вероятность . Если , то отклонения значимы, т. е. гипотеза отвергается, если же , то гипотеза не отвергается.

Важно отметить, что значения , достаточно близкие к единице, указывают на нерепрезентативность выборки; выборку следует повторить, соблюдая принцип случайности отбора.

Случайная величина  есть функция наблюдаемых относительных частот, и в зависимости от вида этой функции распределение  будет задавать соответствующий критерий согласия.

Критерий согласия Пирсона

Критерий Пирсона, или критерий  имеет наибольшее применение. Согласно этому критерию .

Для расчетов удобно ввести понятие «теоретической частоты»  и воспользоваться формулой:

.                                                                             (2.70)

Как известно, распределение  зависит от числа степеней свободы. При применении критерия Пирсона это число находится по формуле , где r – число параметров предполагаемого теоретического закона, использованных для вычисления теоретических частот и оцениваемых по выборке.

Гипотеза отвергается на уровне значимости , если вычисленное значение  окажется больше критического , найденного по таблицам распределения  для уровня значимости и числа степеней свободы . В противном случае гипотеза не отвергается.

Если все или некоторые значения определяющих теоретический за кон параметров известны, то для вычисления вероятностей , оценки параметров заменяют их данными значениями или другими оценками получаемыми на основе выборки при известных значениях остальных параметров. При этом число степеней свободы увеличивается, так как г уменьшается.

По теоретическим соображениям, при расчете  не следует исходить из слишком малых значений . Поэтому рекомендуется перед этим расчетом объединять соседние интервалы (варианты) таким образом, чтобы  для объединенных интервалов. Кроме того, объем выборки должен быть достаточно велик . Расчет  удобно производить в табличном виде:

Поясним некоторые моменты схемы вычислений.

В столбце 4 таблицы некоторые соседние частоты могут суммироваться для удовлетворения условия ; соответствующие соседние интервалы (варианты) тогда объединяются в один интервал , (i) — номер наименьшего, (i+1) — номер наибольшего объединяемых соседних вариантов. Расчеты в столбцах 2—6 проводятся для вновь образованного вариационного ряда (в нем могут присутствовать одновременно и отдельные варианты, и интервалы), причем количество интервалов (вариантов) (l) в новом ряде учитывается при к чете числа степеней свободы.

Теоретические законы, как правило, определяются для всех действительных значений случайной величины. Это обстоятельство следует читывать при получении вероятностей , т. е. учитывать, если это необходимо, расширенные интервалы  и .

При расчете теоретических частот иногда производят округление до целых чисел, при этом следует вычислять вероятности с такой точностью, чтобы погрешность округления была наименьшей. С целью выполнения равенства  можно уменьшить или увеличить на единицу некоторые целые числа, полученные для , которым соответствуют наибольшие погрешности округления.

Критерий Колмогорова

Критерий Колмогорова применяется тогда, когда теоретическое распределение заранее полностью определено (например, известны все значения параметров, определяющих распределение).

Согласно этому критерию

,                                                            (2.71)

где  — эмпирическая функция распределения, т. е.

 — для интервального ряда с центрами .

 – дискретного ряда;

 — теоретическая функция распределения (интегральная функция).

Для вычисления  употребляется формула:

где .

Функция  (или ) табулирована.