Проверка гипотез о генеральной дисперсии нормальной совокупности

Проверка гипотезы о значении генеральной дисперсии

Пусть из генеральной совокупности, значения признака которой распределены по нормальному закону с неизвестной дисперсией  взята случайная выборка из n независимых наблюдений и пусть S² — выборочная дисперсия.

Требуется проверить нулевую гипотезу , где  — определенное заданное значение дисперсии.

Для проверки нулевой гипотезы используют выборочную характеристику (2.30):

,

которая при выполнении гипотезы  имеет распределение  с n-1 степенями свободы.

Как и выше, в зависимости от конкурирующей гипотезы выбирают правостороннюю, левостороннюю или двустороннюю критические области. Границы критической области  определяют по таблице распределения  для заданного уровня значимости  и числа степеней свободы n-1. Рассмотрим три случая.

1. Если , то выбирают правостороннюю критическую область и  находят из условия:

,                                               (2.52)

где  – табличное значение , найденное для уровня значимости  и числа степеней свободы n-1.

Правило проверки гипотезы следующее: если , то нулевую гипотезу  отвергают, если , то нулевая гипотеза не противоречит опытным данным.

Для вычисления мощности критерия можно воспользоваться формулой:

.                                               (2.53)

2. Если конкурирующая гипотеза , то строят двустороннюю критическую область. Левую () и правую () границы критической области находят из условия:

;              (2.54)

В этом случае правило проверки гипотезы сводится к следующему: если , то у нас нет основания отвергнуть гипотезу. Если же  или , то гипотезу отвергают.

3. При конкурирующей гипотезе  строят левостороннюю критическую область. Границу критической области определяют по таблице распределения  (таблица 3 Приложения) – из условия:

.                                                             (2.55)

Если , то гипотеза  отвергается, если же , то гипотеза не отвергается.

Для вычисления мощности критерия можно воспользоваться формулой:

.                                                 (2.56)

Пример 10.3. По результатам n=18 независимых измерений найдено, что , а S=0,5мм. Допустив, что ошибки измерения имеют нормальное распределение:

а) проверить на уровне значимости  гипотезу  против конкурирующей гипотезы  и вычислить мощность критерия;

б) проверить на уровне значимости  гипотезу против конкурирующей гипотезы  и вычислить мощность критерия;

в) проверить на уровне значимости  гипотезу  против конкурирующей гипотезы .

Решение.

А. В основе проверки гипотезы о значении генеральной дисперсии лежит статистика , наблюдаемое значение которой равно:

.

Так как альтернативная гипотеза , то гипотеза  отклоняется в пользу гипотезы  при попадании статистики критерия в левостороннюю критическую область, границы которой определяются из условия (2.55):

.

По таблицам распределения,  (таблица 3 Приложения):

.

Вывод. Поскольку наблюдаемое значение статистики критерия не меньше критического значения , то можно сделать вывод, что на уровне значимости  гипотеза  не противоречит опытным данным.

Мощность критерия проверки гипотезы о значении генеральной дисперсии в случае левосторонней критической области определяется по формуле (2.56):

Б. Наблюдаемое значение статистики:

.

Так как альтернативная гипотеза , то гипотеза  отклоняется в пользу гипотезы  при попадании статистики критерия в левостороннюю критическую область, границы которой определяются из условия (2.55):

.

По таблицам распределения, :

.

Вывод. Так как наблюдаемое значение статистики критерия не превосходит критическое значение , то можно сделать вывод, что на уровне значимости  гипотеза  не противоречит опытным данным.

Мощность критерия проверки гипотезы о значении генеральной дисперсии в случае правосторонней критической области определяется по формуле (2.56):

В. Наблюдаемое значение статистики:

.

Так как альтернативная гипотеза , то гипотеза  отклоняется в пользу гипотезы  при попадании статистики критерия в левостороннюю критическую область, границы которой определяются из условия (2.55):

; .

По таблицам распределения, :

; .

Вывод. Так как наблюдаемое значение статистики критерия , то можно сделать вывод, что на уровне значимости  гипотеза  не противоречит опытным данным.

 

Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух генеральных совокупностей

Пусть Х и Y— генеральные совокупности, значения признаков которых распределены по нормальному закону с дисперсиями  и . Из этих совокупностей взяты независимые случайные выборки объемом  и , и пусть  и  — исправленные выборочные дисперсии, причем

, где , .

Требуется проверить нулевую гипотезу  против альтернативной гипотезы . Основу критерия для проверки нулевой гипотезы составляет статистика (2.33):

,                                                                      (2.57)

которая при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора (F-распределение) с  и  степенями свободы.

Для поверки гипотезы выбирают правостороннюю критическую область. Границу критической области  определяют по таблице F-распределения при заданном уровне значимости  и числе степеней свободы  и  из условия:

.                                                 (2.58)

Критерий проверки гипотезы состоит в том, что при выполнении условия , полагают, что гипотеза не противоречит опытным данным; а если , то гипотезу отвергают.

Пример 10.4. Для исследования состава работников предприятий были сделаны выборки по 10 предприятиям () и определена доля мужчин в общей численности работников в каждой выборке. Для предприятий первой отрасли средняя доля составила  со стандартным отклонением , для предприятий второй отрасли средняя доля составила  со стандартным отклонением . Имеются ли основания полагать, что состав работников различается в этих двух отраслях?

Решение.

Прежде чем приступить к проверке требуемой гипотезы о равенстве генеральных средних  необходимо отметить, что в основе проверки гипотезы о равенстве генеральных средних лежит условие, что истинные значения генеральных дисперсий не известны, но равны: , и проверка гипотезы о равенстве генеральных средних без предварительной проверки гипотезы о равенстве генеральных дисперсий двух совокупностей не корректна.

Поэтому сначала проверим гипотезу о равенстве генеральных дисперсий двух совокупностей, т. е. проверим на уровне значимости  гипотезу  против конкурирующей гипотезы . В основе проверки гипотезы о значении генеральной дисперсии лежит статистика  (в предположении, что ), которая при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Фишера-Снедекора (F-распределение) с  и  степенями свободы. Рассчитаем:

;

.

Так как , то наблюдаемое значение статистики:

.

Границы критической области определяются по таблицам распределения Фишера-Снедекора (таблица 4 Приложения) из условия , откуда .

Вывод. Так как наблюдаемое значение статистики критерия меньше критического значения , то можно сделать вывод, что различия между дисперсиями двух совокупностей не существенны на 5%-м уровне значимости. Поэтому можно предположить, что две генеральные дисперсии равны друг другу и перейти к проверке гипотезы о равенстве генеральных средних, т. е. на уровне значимости  гипотезы  против конкурирующей гипотезы .

В основе проверки гипотезы о равенстве генеральных средних (в случае когда истинные значения генеральных дисперсий не известны, но ) лежит статистика , которая при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение Стьюдента (t-распределение) с  степенями свободы.

Наблюдаемое значение статистики равно:

Так как альтернативная гипотеза , то гипотеза  отклоняется в пользу гипотезы  при попадании статистики критерия в двустороннюю критическую область, границы которой определяются из условия: . По таблицам t-распределения:

Вывод. Поскольку наблюдаемое значение статистики критерия по модулю превосходит критическое , то можно сделать вывод, что наблюдения не согласуются с нулевой гипотезой, т. е. состав работников на предприятиях двух отраслей различен.

Проверка гипотез об однородности ряда дисперсий

1. Критерий Бартлетта. Пусть  есть l нормальных генеральных совокупностей, из которых извлечены выборки объемом  соответственно, и пусть  - исправленные выборочные дисперсии (2.13).

Требуется на уровне значимости  проверить нулевую гипотезу о равенстве дисперсий l генеральных совокупностей, т. е. .

Введем обозначения:

 – число степеней свободы i-й выборки;

 для , где  – результат j-го наблюдения i-й выборки;

.                                                                 (2.59)

В качестве выборочной характеристики критерия Бартлетт предложил использовать статистику

,                                                   (2.60)

где .

При выполнении нулевой гипотезы  и при ,  приближенно имеет распределение  с l-1 степенями свободы.

Для проверки нулевой гипотезы строят правостороннюю критическую область, границу которой определяют по таблице распределения  (таблица 3 Приложения) для уровня значимости  и числа степеней свободы l-1 из условия:

.                                                                        (2.61)

Критерий проверки гипотезы заключается в следующем: если , то гипотезу отвергают, если же , то считают, что гипотеза не противоречит опытным данным.

Критерий Бартлетта весьма чувствителен к отклонениям законов распределения  для  от нормального закона.

В случае, когда , для проверки нулевой гипотезы  используют критерий Кохрана.

2. Критерий Кохрана. Пусть  – нормальные генеральные совокупности с неизвестными дисперсиями , из которых извлечены выборки объемом , и пусть  - исправленные выборочные дисперсии соответствующих совокупностей.

Требуется проверить нулевую гипотезу . С целью проверки нулевой гипотезы Кохран предложил критерий, основанный на статистике:

,                                                 (2.62)

которая при выполнении нулевой гипотезы имеет G-распределение с  и  степенями свободы, где  – наибольшая из исправленных выборочных дисперсий.

Для проверки нулевой гипотезы  на уровне значимости  строят правостороннюю критическую область.

Границу критической области,  находят по таблице G-распределения (таблица 9 Приложения) из условия:

.                                                                                  (2.63)

Критерий проверки гипотезы заключается в следующем: если выполняется условие , то гипотезу отвергают, если же , то считают, что гипотеза не противоречит опытным данным.