Проверка гипотез о вероятности в случае биноминального распределения

Проверка гипотезы о значении вероятности

Пусть рассматривается генеральная совокупность, значения признака которой имеют биноминальный закон распределения с неизвестным параметром Р, где Р – вероятность появления события А,  и  – определенные значения параметра р. Для проверки нулевой гипотезы , при альтернативной гипотезе  при больших значениях n>30 используют статистику:

,                                                                   (2.64)

где , которая при выполнении нулевой гипотезы имеет нормированное распределение N(0;1).

Согласно требованию (2.45) при  выбирают правостороннюю критическую область, при  – левостороннюю, а при конкурирующей гипотезе  выбирают двустороннюю критическую область.

Границы критической области  находят по таблице интегральной функции Лапласа Ф(t) из условий:

· в случае правосторонней и левосторонней критических областей (2.46):

,

где Ф(t) – интегральная функция Лапласа (таблица 1);

· при двусторонней критической области (2.47):

.

Тогда проверка гипотезы сводится к следующему: если , то гипотеза отвергается с вероятностью ошибки , если , то делают вывод, что гипотеза не противоречит опытным данным.

Проверка гипотез об однородности рядя вероятностей

Пусть  – l генеральных совокупностей, каждая из которых характеризуется неизвестным параметром , где  – вероятность появления события А в соответствующей выборке.

Требуется по результатам выборочных наблюдений проверить нулевую гипотезу о равенстве вероятностей появления события А в генеральных совокупностях, т. е. . Для проверки гипотезы можно использовать статистику:

,                                                               (2.65)

где  – средняя частость появления события А по всем выборкам.

Или, используя частости по всем выборкам :

.                                                             (2.66)

Статистика  при выполнении нулевой гипотезы имеет асимптотическое распределение  с l-1 степенями свободы, где l – число генеральных совокупностей.

Для проверки нулевой гипотезы на уровне значимости  строят правостороннюю критическую область, границу  которой определяют из условия:

.                                                                        (2.67)

Критерий проверки гипотезы заключается в следующем: если выполняется условие , то гипотезу отвергают, если же , то считают, что гипотеза не противоречит опытным данным.

Пример 10.5. Из 100 студентов одного факультета 35 отлично сдали экзамен по высшей математике, из 150 студентов другого факультета отличников оказалось 40. Поверить на уровне значимости  гипотезу о том, что вероятность отличной оценки не зависит от того, на каком факультете проводится экзамен, т. е. .

Решение.

В основе проверки гипотезы об однородности ряда вероятностей лежит статистика , где , которая при выполнении нулевой гипотезы имеет распределение  с l-1 степенями свободы (l – количество совокупностей).

По данным задачи:

Наблюдаемое значение статистики равно:

Границы критической области определяются из условия: .

По таблицам распределения, .

Вывод. Так какнаблюдаемое значение статистики критерия не превосходит критического значения , то можно сделать вывод, что на уровне значимости  гипотеза  не противоречит опытным данным.